Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente na Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais ${\displaystyle {\begin{matrix}{n \choose k}\end{matrix}}}$, onde ${\displaystyle n}$ representa o número da linha e ${\displaystyle k}$ representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero.^[1] Na China aparece nas obras de Chu Shi-kié no século XII, na Pérsia o poeta e matemático Omar Khayyám do século XII o utiliza para descobrir raízes n-ésimas, na Alemanha o triângulo aparece no livro de Petrus Apianus no século XVI. No entanto, foi Blaise Pascal que estudou e utilizou as propriedades do triângulo na teoria das probabilidades. O triângulo também pode ser representado como:

	0	1	2	3	4	5	6
0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	3	4	5	6
2	1	3	6	10	15
3	1	4	10	20
4	1	5	15
5	1	6
6	1

O triângulo de Yang Hui foi publicado na China, em 1303.

Ele define os números no triângulo por recursão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por t_mn. Então t_mn = t_m-1,n-1 + t_m-1,n, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de contorno são t_{m, −1} = 0, t_{−1, n} para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t₀₀ = 1. Pascal conclui com a prova,

${\displaystyle t_{mn}={\frac {(m+n)(m+n-1)...(m+1)}{n(n-1)...1}}.\ }$

Propriedades

Relação de Stifel

O triângulo de Pascal.

Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.${\displaystyle {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} \\\mathbf {0} &1&&&&&\\\mathbf {1} &1&1&&&&\\\mathbf {2} &1&2&1&&&\\\mathbf {3} &1&3&3&1&&\\\mathbf {4} &1&4&{\underline {\overline {6}}}&{\underline {\overline {4}}}&1&\\\mathbf {5} &1&5&10&{\underline {\overline {10}}}&5&1\\\end{matrix}}}$

Portanto:

${\displaystyle {\begin{matrix}{4 \choose 2}&+&{4 \choose 3}&=&{5 \choose 3}\\&&&&\\6&+&4&=&10\end{matrix}}}$

Soma de uma linha

A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a ${\displaystyle 2^{n}}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} &\mathbf {2^{n}} \\\mathbf {0} &1&&&&&&&{2^{0}=1}\\\mathbf {1} &1&1&&&&&&{2^{1}=2}\\\mathbf {2} &1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\\\mathbf {3} &1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\\\mathbf {4} &1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\\\mathbf {5} &1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\\\mathbf {6} &1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64}\end{matrix}}}$

Soma de uma coluna

A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação ${\displaystyle {n \choose n}+{n+1 \choose n}+...+{n+k \choose n}={n+k+1 \choose n+1}}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} \\\mathbf {0} &1&&&&&&\\\mathbf {1} &1&{\underline {\overline {1}}}&&&&&\\\mathbf {2} &1&{\underline {\overline {2}}}&1&&&&\\\mathbf {3} &1&{\underline {\overline {3}}}&3&1&&&\\\mathbf {4} &1&{\underline {\overline {4}}}&6&4&1&&\\\mathbf {5} &1&5&10&{\underline {\overline {10}}}&5&1&\\\mathbf {6} &1&6&15&20&15&6&1\end{matrix}}}$

Portanto:${\displaystyle {\begin{matrix}{1 \choose 1}&+&{2 \choose 1}&+&{3 \choose 1}&+&{4 \choose 1}&=&{5 \choose 2}\\&&&&&&&&\\1&+&2&+&3&+&4&=&10\end{matrix}}}$

Simetria

O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}}\end{matrix}}}$^[2]

Isso deve-se ao fato de que ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={n \choose n-k}}$

Soma de uma diagonal

Conhecendo as fórmulas ${\displaystyle {n \choose n}+{n+1 \choose n}+...+{n+k \choose n}={n+k+1 \choose n+1}}$ (Soma de uma coluna) e ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={n \choose n-k}}$ (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: ${\displaystyle {n \choose 0}+{n+1 \choose 1}+...+{n+k \choose k}={n+k+1 \choose k}}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} \\\mathbf {0} &1&&&&&&\\\mathbf {1} &{\underline {\overline {1}}}&1&&&&&\\\mathbf {2} &1&{\underline {\overline {2}}}&1&&&&\\\mathbf {3} &1&3&{\underline {\overline {3}}}&1&&&\\\mathbf {4} &1&4&6&{\underline {\overline {4}}}&1&&\\\mathbf {5} &1&5&10&10&{\underline {\overline {5}}}&1&\\\mathbf {6} &1&6&15&20&{\underline {\overline {15}}}&6&1\end{matrix}}}$

Novas propriedades – Desigualdades

Em 2014 foram descobertas novas propriedades, envolvendo Desigualdades, quais sejam:^[3]

1- Em toda a infinita coluna central do Triângulo, na figura abaixo, o produto de dois de seus elementos é maior do que o produto de dois elementos pertencentes à mesma coluna central, localizados simetricamente entre eles. Por exemplo, na figura abaixo: 1 x 20 > 2 x 6, ou então, 2 x 20 > 6 x 6, ou ainda, 1 x 6 > 2 x 2. Isto vale para toda a coluna central.${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}}\end{matrix}}}$

2- Dados dois elementos A e B da coluna central, o produto deles é maior do que o produto de dois elementos C e D pertencentes às diagonais que passam por A e por B, que estejam simetricamente localizados em relação a A e a B. Por exemplo, olhando novamente a figura acima: se A = 2 e B = 20, então:

2 x 20 > 3 x 10 > 4 x 4 > 1 x 5.

Se A = 1 e B = 20, então:

1 x 20 > 1 x 10 > 1 x 4 > 1 x 1.

Algoritmos

Python

Recursivo

def pascal_t(m,n):
    if m == 0 and n ==0:
        return 1
    elif n == -1 or m == -1:
        return 0
    else:
        return pascal_t(m-1, n-1) + pascal_t(m-1,n)

Programado

def pascal_tri(lines):
    t= [[0 for i in range(lines)] for i in range(lines)]
    for n in range(lines):
        for k in range(lines):
            if n == 0 and k == 0:
                t[n][k] = 1
            elif n > -1 and k > -1:
                t[n][k] = t[n-1][k-1] + t[n-1][k]
    return t

Java

public void Pascal(int n) {
    int nfilas = n;
    int[] a = new int[1];
    for (int i = 1; i <= nfilas; i++) {
        int[] x = new int[i];
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (j == 0 || j == (i - 1)) {
                x[j] = 1;
            } else {
                x[j] = a[j] + a[j - 1];
            }
            System.out.print(x[j] + " ");
        }
        a = x;
        System.out.println();
    }
}

Notas

1. Kadane (2011), p. 62.
2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 18 de março de 2016
3. Antônio Luiz de Melo, Rogério César dos Santos (13 de março de 2014). «Desigualdades no Triângulo de Pascal» (PDF). Revista Eletrônica Paulista de Matemática. Consultado em 6 de abril de 2015^{[fonte confiável?]}

Referências

• Kadane, J.B. (2011). Principles of Uncertainty (em inglês). Boca Raton: CRC Press. ISBN 9781439861615

Ver também

• Blaise Pascal
• Binômio de Newton
• Pirâmide de Pascal