Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem é um princípio da combinatória. É, basicamente, a ideia de que o número de possibilidades de fazer ${\displaystyle n}$ ações distintas e independentes é a multiplicação da quantidade de modos possíveis que cada uma pode ser feita. Ou seja se ${\displaystyle A}$ pode ocorrer de ${\displaystyle q_{a}}$ formas e ${\displaystyle B}$ pode ocorrer de ${\displaystyle q_{b}}$ formas, então existem ${\displaystyle q_{a}.q_{b}}$ formas de fazê-las. Generalizando, ${\displaystyle n}$ ações que podem ser feitas de tal forma que tenham ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},...,q_{n}}$possibilidades para cada, juntas podem ser feitas de ${\displaystyle Q=q_{1}.q_{2}.q_{3}...q_{n}}$ modos distintos.

Conceito formal

Dadas ${\displaystyle n}$ ações ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}}$ podendo ocorrer de, respectivamente, ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},...,q_{n}}$modos distintos, conjuntamente, elas podem ocorrer de ${\displaystyle Q=\prod _{i=1}^{n}q_{i}}$ modos distintos.

${\displaystyle Q=\prod _{i=1}^{n}q_{i}=q_{1}.q_{2}.q_{3}...q_{n}}$

Exemplos

Escolher um elemento de ${\displaystyle A=\left\{a,b,c\right\}}$ e um elemento de ${\displaystyle X=\left\{x,y\right\}}$. É o mesmo que escolher um termo de ${\displaystyle P=(A,X)=\left\{(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)\right\}}$. Nesse exemplo, a regra diria: ${\displaystyle A}$ pode ocorrer de ${\displaystyle 3}$ formas e ${\displaystyle X}$ pode ocorrer de ${\displaystyle 2}$ formas, então existem ${\displaystyle 3\ .\ 2=6}$ formas de fazê-las conjuntamente.

Em outro exemplo, Alice decidiu comprar um carro novo, e ela quer decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi, há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: A, B e C, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, dourado, azul, vermelho e prata.

Segundo o princípio fundamental da contagem, Alice tem ${\displaystyle 3\ .\ 5}$ opções para fazer, ou seja, ela poderá optar por ${\displaystyle 15}$ carros diferentes.

Conjuntos

Na teoria dos conjuntos, esse princípio multiplicativo é muitas vezes a definição do produto dos números cardinais.

Ver também

• Princípios combinatórios

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