Loading AI tools
Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, nomeadamente em análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua definida em um intervalo fechado e diferenciável em se então existe algum ponto em onde a tangente ao gráfico de é horizontal, isto é,[1][2]
Colocando em linguagem comum, o teorema afirma que, em qualquer função contínua de intervalo delimitado por pontos e de mesma altura, ou mesma coordenada vertical, há algum ponto C em que a derivada da função, isto é, sua taxa de variação instantânea é nula.[3]
É denominado em memória de Michel Rolle.
O enunciado do teorema é intuitivo considerando a exigência de continuidade da própria derivada (se existente) de uma função : se e são as coordenadas horizontais de pontos e de mesma altura, extremos de um intervalo, então a função cresce, decresce ou permanece constante para , nas vizinhanças de . Se a função é constante, o resultado é trivial: sua derivada é nula em todo o intervalo. Se cresce, sabe-se que eventualmente tem de decrescer para retornar à mesma coordenada vertical do ponto para chegar ao ponto . Por ser contínua e diferenciável nesse intervalo, sua derivada também o é, e como a derivada começa positiva nas vizinhanças de e, conforme o valor de aumenta, torna-se negativa antes de chegar ao ponto , é necessário que exista um ponto tal que . O mesmo raciocínio é aplicável a uma função de derivada inicialmente negativa e posteriormente positiva.
Como é contínua, então, pelo teorema de Weierstrass, admite no intervalo um máximo e um mínimo
Primeiro, suponha que . Então é constante no intervalo considerado e, consequentemente, a derivada é em todos os pontos. Portanto, o teorema é verdadeiro neste caso.
Suponha agora que . Então a função assume no interior do intervalo um máximo, um mínimo ou até os dois. Admita-se, sem perda de generalidade, que assume o valor máximo no ponto tal que
Então, para valores de , temos e também . Portanto,
Como é diferenciável no intervalo , segue que
Para valores de à direita de temos e . Portanto,
e, também,
Mas então conclui-se que
e
o que só é possível se
provando-se assim o teorema.
A demonstração seria análoga se em vez de um ponto de máximo admitíssemos a existência de um ponto de mínimo no intervalo.[4]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.