O Teorema de Lagrange, aplicado na teoria dos grupos, é um teorema que diz que se
é um grupo finito e
é subgrupo de
então a ordem (quantidade de elementos) de
divide a ordem de
Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange.
Teorema 0.1
Se
é uma relação de equivalência em
então
onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde
implica
Ou seja,
particiona
em classes de equivalência.
Demonstração
Seja
Note que
Portanto, é claro que ![{\displaystyle S={\underset {a\in S}{\bigcup }}[a].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dea0da363180a9c2d84c5b2bcdb0b01e05c4f19)
Suponhamos que
e provemos que ![{\displaystyle [a]=[b].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cea6f461568f4e243b1bdc9d44a7ee9d63aa8da)
Seja ![{\displaystyle c\in [a]\cap [b].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7badb7905f72e7142db195fd6b5af9f2352b050)
Então
e ![{\displaystyle c\star b.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72de1c2b0f959074861b79a7631e3f40302629cd)
Por um lado ![{\displaystyle {\begin{cases}c\star a\Leftrightarrow a\star c\\c\star b\end{cases}}\Rightarrow a\star b\Rightarrow a\in [b]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da53565c43581f0305d2f9ddaa0537f1a8ccb10)
Por outro ![{\displaystyle {\begin{cases}c\star a\\c\star b\Leftrightarrow b\star c\end{cases}}\Rightarrow b\star a\Rightarrow b\in [a].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2f792c276264c979ab315dbb7651af2447e035)
Seja ![{\displaystyle x\in [a].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41886156bcd0fd1b29bf3100cabe31455a72e31d)
Então ![{\displaystyle x\star a.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a4a97da75a046b2f7442b2d474f5751ff3da23)
Mas
logo
e assim ![{\displaystyle x\in [b].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec319200d2a40e1a1371448281c1e6ffc07602e5)
Portanto
Seja ![{\displaystyle y\in [b].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874a5626f7e17ac34789cff12d6beee8c9c084c5)
Então
Mas
logo
e assim ![{\displaystyle y\in [a].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65dbc1a17f35e7f05dcb01adecd1d711221682e3)
Portanto ![{\displaystyle [b]\subset [a].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334e52a1580ea9a6ad56e6d80a2fae99774975f8)
E, dessa forma,
![{\displaystyle \Box }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)