esta última expressão pode ser mais simplificada usando a notação de Einstein, convenção na qual se pode omitir o símbolo de soma. O tensor cujas componentes são dadas pelo símbolo de Levi-Civita (um tensor covariante de categoria 3) por vezes se chama o tensor de permutação.
O símbolo de Levi-Civita pode se generalizar a dimensiones mais elevadas:
O símbolo de Levi-Civita relaciona-se com o delta de Kronecker. Em três dimensões, a relação é dada pelas seguintes equações:
Uma consequência importante da relação acima é dada pela equação abaixo:
Como e são diferentes de zero somente para e , respectivamente, o resultado da soma é:
A relação acima é muito utilizada em cálculo vetorial[1].
A relação entre o produto de símbolo de Levi-Civita e o produto de deltas de Kronecker permite deduzir com facilidade diversas relações de operações entre vetores e operadores vetoriais.
Por exemplo a fórmula abaixo, informalmente conhecida por “BAC-CAB”, pode ser derivada de uma maneira simples e direta utilizando o formalismo acima.
Seja . Sua componente i, como visto acima, pode ser representada por , onde índices repetidos seguem a convenção de Einstein, ou seja, indicam a existência de um somatório no respectivo índice. No caso como há dois índices repetidos há dois somatórios implícitos (em e ).
Da mesma forma , onde o símbolo de Levi-Civita foi definido com os índices para distinguí-lo daquele contido em D com índices e tomando o ultimo índice igual a pois trata-se da componente , pelo menos motivo o índice em refere-se à componente .
Expressando em termos de e , a expressão torna-se:
A vantagem de utilizar esse formalismo se deve ao fato de poder utilizar grandezas escalares ao invés de vetoriais o que facilita a sua manipulação. Como todos os termos são escalares pode-se comutá-los:
Utilizando a relação , descrita acima, a expressão pode ser rescrita como:
O termo só é não nulo se, simultaneamente, e , ou seja, resta apenas o termo . Analogamente o termo só é não nulo se, simultaneamente, e , restando apenas o termo . Esse resultado é devido à propriedade da delta de Kronecker.
Usando a comutatividade e associatividade de escalares, tem-se a componente m da relação:
Os termos em parênteses tem índices repetidos e portanto implicam um somatório, em particular, trata-se do produto escalar de dois vetores. Finalmente, expressando o resultado em termos de vetores novamente: