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Em matemática, o princípio de Phragmén–Lindelöf é uma extensão de 1908 por Lars Edvard Phragmén (1863-1937) e Ernst Leonard Lindelöf do princípio do módulo máximo da análise complexa, para ilimitados domínios.
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Na teoria da função complexa, sabe-se que se uma função f é holomorfa em um domínio limitado D, e é contínua em uma fronteira de D, então o máximo de |f|, devem ser atingidos no limite de D. Se, no entanto, a região D não for limitada, então isso não pode ser verdadeiro, como podemos ver ao analisar a função na fita A dificuldade aqui é que a função g tende para o infinito 'muito' rapidamente como z tende para o infinito ao longo do eixo real positivo.
O Princípio de Phragmén–Lindelöf mostra que, em determinadas circunstâncias, e limitando a rapidez com a qual f é permitido que tendem para o infinito, é possível provar que f é, na verdade, limitada no domínio ilimitado.
Na literatura de análise complexa, existem muitos exemplos do princípio de Phragmén–Lindelöf aplicado para regiões acopladas de diferentes tipos, e também uma versão deste princípio pode ser aplicada em uma forma similar as funções subharmônica e superharmônica.
Seja F(z) uma função holomorfa em um setor,
com ângulo π/λ = β–α, e a contínua no seu limite.
Se para o z sobre a fronteira de S, e para todo z em S, onde 0 ≤ ρ < λ e C > 0, então (1) também vale para todos os z em S.
Na prática, o ponto 0 é muitas vezes transformado no ponto ∞ da Esfera de Riemann. Isso dá uma versão do princípio de que aplica-se a tiras, por exemplo, delimitada por duas linhas de constantes parte real do complexo plano. Este caso especial é às vezes conhecido como Teorema de Lindelöf.
O princípio é usado para provar o Princípio da incerteza de Heisenberg, que estabelece que uma função e a sua transformada de Fourier, não podem deteriorar mais rápido que exponencialmente.
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