Polo (análise complexa)

Em análise complexa, um polo de um função holomorfa é um certo tipo de singularidade que se comporta como um singularidade do tipo ${\displaystyle {\frac {1}{z^{n}}}}$ no ponto ${\displaystyle z=0}$.

O valor absoluto da função gama. A imagem mostra que a função torna-se infinita nos pólos (à esquerda). À direita, a função gamma não possui polos: ela apenas cresce rapidamente.

Em particular, em um polo a de uma função f, f(z) tende ao infinito as conforme z se aproxima de a.^[1]

Definição

Formalmente, suponha que ${\displaystyle \Omega }$ é um subconjunto aberto do plano complexo ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle a}$ é um elemento de ${\displaystyle \Omega }$ e ${\displaystyle f:\Omega _{a}\to \mathbb {C} }$ é uma função holomorfa. Se existir uma função holomorfa ${\displaystyle g:\Omega \mapsto \mathbb {C} }$ e um inteiro não negativo ${\displaystyle n}$ tal que

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}}$

para todo ${\displaystyle z}$ em ${\displaystyle \Omega _{a}}$, então a é denominada um polo de f. O menor número n satisfazendo a condição acima é chamada ordem do polo. Um polo de ordem 1 é chamado polo simples. Um polo de ordem 0 é uma singularidade removível.

Da definição acima, várias caracterizações equivalentem podem ser deduzidas:

Como g é uma função analítica, f pode ser expressa como:

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.}$

Esta é uma série de Laurent com uma parte principal finita. A função holomórfica ${\displaystyle \sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}}$ (em ${\displaystyle \Omega }$) é chamada a parte regular de ${\displaystyle f}$. Então, o ponto a é um polo de ordem n de ${\displaystyle f}$ se e somente se todos os termos da expansão da série de Laurent de ${\displaystyle f}$ em torno de a de abaixo do grau −n desaparecem e o termo de grau −n não é nulo.

Referências

1. Ahlfors 1979, p. 127.

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, Pole no MathWorld.
• «Module for Zeros and Poles by John H. Mathews»

• Portal da matemática