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Uma medida de dependência é um parâmetro associado a um par de variáveis aleatórias que codifica em seu valor a intensidade da dependência estatística entre as variáveis. Similarmente uma medida de concordância é um parâmetro que, além de dar informação a respeito da dependência estatística, também é capaz de informar a respeito da correlação entre a direção de movimento dessas variáveis.
De maneira informal e grosseira, uma medida de dependência diz quanta informação se obtém a respeito de uma variável quando o valor de outra variável é conhecido. Exemplos de candidatos à medida de dependência são a covariância e a correlação (a rigor a correlação seria candidata a medida de concordância e seu módulo a medida de dependência). Ambas carregam alguma informação a respeito de quanto o conhecimento de uma variável informa sobre sobre o valor da outra. Entretanto há algumas ressalvas a esse respeito:
Renyi estipulou um conjunto de exigências ou requisitos do que é razoável supor sobre boas medidas de dependência.[1][2] Segundo essa lista de exigências, uma medidas de dependência é um funcional da distribuição conjunta de qualquer par de variáveis X e Y com as seguintes propriedades:
Pode-se adaptar esses requisitos para medidas de concordância ajustando-se apenas os (2 - 4) da seguinte forma:
Diversas medidas de concordância e dependência podem ser facilmente relacionadas às respectivas cópulas. De fato, pode-se argumentar que toda boa medida de concordância ou dependência deve ser unicamente um funcional da cópula e ser independente das distribuições marginais.[3]
O tau de Kendall é definido como:
onde é o número de pares concordantes, e é o número de pares discordantes do conjunto de dados. Alternativamente, é a probabilidade de que dois pontos sorteados da distribuição conjunta sejam concordantes, ou seja:
O Tau de Kendall pode ser escrito como um funcional da cópula:
O coeficiente de correlação rho de Spearman é definido como a correlação entre os postos de X e Y. Pode ser escrito como função da cópula da seguinte forma:
A informação mútua é definida da seguinte forma:
onde S(.) é a entropia de Shannon. A informação mútua possui muitas interpretações do ponto de vista de teoria da informação, e pode ser compreendida como a diminuição na incerteza de uma das variáveis proporcionada pelo conhecimento da outra. A informação mútua pode ser estimada a partir de amostras de X e Y através do algoritmo de k-vizinhos de Kraskov-Stogbauer- Grassberger.[4]
Duas variáveis chamadas dependência na cauda superior e dependência na cauda inferior (upper and lower tail dependence) são usadas para caracterizar o aumento de dependência entre duas variáveis quando ocorrem eventos extremos. A dependência na cauda superior é definida como:
ou seja, a probabilidade de que se observe um valor de X maior no u-ésimo quantil dado que Y foi observado no u-ésimo quantil, no limite em que u se aproxima de 1. A dependência na cauda inferior é definida de forma similar.
Em função da cópula, as dependências na cauda são escritas como:
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