Grupoide (matemática)

 Nota: Não confundir com grupoide (estrutura algébrica).

Em matemática, grupoide é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto não-vazio com uma operação binária parcial, geralmente denotada pela concatenação, onde todo elemento possui um inverso. Um grupoide é uma generalização da estrutura de grupo, e também representa uma categoria pequena em que todos os morfismos são invertíveis.

Definição

Um grupoide pode ser definido a partir da teoria das categorias ou de forma axiomática.

Na teoria das categorias, um grupoide é uma categoria pequena ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ em que todo morfismo é invertível, isto é, é um isomorfismo.^[1] Isto é:

• A classe dos objetos ${\displaystyle Obj_{\mathcal {C}}}$ e a classe dos morfismos ${\displaystyle Mor_{\mathcal {C}}(A,B)}$ são conjuntos, para quaisquer ${\displaystyle A,B\in Obj_{\mathcal {C}}}$.
• Para todo ${\displaystyle f\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)}$ existe ${\displaystyle g\in Mor_{\mathcal {C}}(B,A)}$ tal que ${\displaystyle f\circ g=Id_{B}}$ e ${\displaystyle g\circ f=Id_{A}}$, isto é, ${\displaystyle g=f^{-1}}$

Para a definição axiomática de grupoide^[2], seja ${\displaystyle G}$ um conjunto não-vazio munido de uma operação binária definida parcialmente . Dados ${\displaystyle g,h\in G}$, dizemos que existe ${\displaystyle gh}$ se o produto estiver definido, e escrevemos ${\displaystyle \exists gh}$. Um elemento ${\displaystyle e\in G}$ é dito identidade se ${\displaystyle \exists eg}$ e ${\displaystyle \exists ge}$ então ${\displaystyle eg=g=ge}$. Então ${\displaystyle G}$ é um grupoide se satisfaz os seguintes axiomas:

• Para todo ${\displaystyle g,h,l\in G}$, ${\displaystyle \exists g(hl)}$ se e somente se ${\displaystyle \exists (gh)l}$ e, neste caso, são iguais;
• Para todo ${\displaystyle g,h,l\in G}$, ${\displaystyle \exists g(hl)}$ se e somente se ${\displaystyle \exists gh}$ e ${\displaystyle \exists hl}$;
• Para cada ${\displaystyle g\in G}$ existem (únicos) elementos ${\displaystyle d(g),r(g)\in G}$ tais que ${\displaystyle gd(g)=g=r(g)g}$. Estes elementos são, respectivamente, identidade domínio e identidade imagem de ${\displaystyle g}$;
• Para cada ${\displaystyle g\in G}$ existe um (único) elemento ${\displaystyle g^{-1}\in G}$ tal que ${\displaystyle g^{-1}g=d(g)}$ e ${\displaystyle gg^{-1}=r(g)}$.

Observe que podemos identificar um elemento ${\displaystyle g\in G}$ com um morfismo ${\displaystyle g\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)}$ e, neste caso, ${\displaystyle d(g)}$ e ${\displaystyle r(g)}$ correspondem aos morfismos identidade do domínio e da imagem de ${\displaystyle g}$. É comum que, neste caso, identifiquemos um objeto ${\displaystyle A}$ com o seu morfismo identidade ${\displaystyle Id_{A}}$.

Exemplos

O conjunto das matrizes quadradas de ordem ${\displaystyle n}$ com entradas reais ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ é um grupo abeliano com a operação de adição. A união dos grupos ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}(\mathbb {R} )}$ é um grupoide, e a soma está definida apenas para matrizes de mesma ordem. Podemos estender este exemplo para matrizes retangulares, também.

Referências

1. (Riehl, §1.1)
2. TAMUSIUNAS, Thaísa Raupp (2012). Teorias de Galois para Ação de Grupoides. Porto Alegre: [s.n.]

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