Função monótona

Em matemática, uma função entre dois conjuntos ordenados é monótona quando ela preserva (ou inverte) a relação de ordem. Quando a função preserva a relação, ela é chamada de função crescente. Quando ela inverte a relação, ela é chamada de função decrescente. Usa-se o prefixo estritamente para enfatizar que a função é injetiva, mas, em muitos contextos, isso fica implícito.

A função f(x)=x³ é monótona crescente, embora a sua derivada se anule em x=0.

A função f(x)=1/x, para x não nulo, não é monótona decrescente, embora tenha derivada negativa em todos os pontos do seu domínio.

Definição

Sejam ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ conjuntos ordenados. Então:

• f é estritamente crescente em A quando ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x>y\Rightarrow f(x)>f(y))}$
• f é estritamente decrescente em A quando ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x>y\Rightarrow f(x)<f(y))}$
• f é monótona não-decrescente ou crescente em sentido lato^[1] quando ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y))}$
• f é monótona não-crescente ou decrescente em sentido lato^[1] quando ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y))}$

Note-se que, de propósito, não foram definidos os termos crescente e decrescente, já que alguns autores definem como, respectivamente, estritamente crescente e estritamente decrescente e outros autores como monótona não-decrescente e monótona não-crescente.

Exemplos

• A função identidade em qualquer conjunto ordenado é estritamente crescente.
• A função f(x) = -x no conjunto dos números reais é estritamente decrescente.

Referências

1. Infopédia. «monotonia de uma função - Infopédia». Infopédia - Dicionários Porto Editora. Consultado em 30 de novembro de 2020

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