conjunto de pontos e conjunto de vizinhanças que satisfazem axiomas relacionando tais pontos a tais vizinhanças Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Espaços topológicos são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é denominado topologia.
Um espaço métrico tem uma estrutura natural de espaço topológico para definido como o conjunto das reuniões de bolas abertas
Nada impede que, a um conjunto , esteja associada mais de uma topologia, por exemplo, e Quando todo aberto de for um aberto de diz-se que a topologia é mais grossa que ou, analogamente, que é mais fina que Como o próprio nome indica, a topologia grosseira é mais grossa que qualquer outra, e a topologia discreta é mais fina que qualquer outra.
Dada uma família não-vazia de topologias a sua interseção é uma topologia.
Essa propriedade permite construir topologias mínimas, ou seja, a menor topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
Por exemplo, dada uma coleção S de subconjuntos de X (ou seja, ), sabemos que existe uma topologia que contém S, a topologia discreta Portanto, a família F de todas as topologias que contém S não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia gerada por S, e S é uma sub-base desta topologia.
Seja uma topologia em X, e Para tornar Y um subespaço topológico, existe uma topologia canônica em Y, Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de função contínua. A função inclusão é contínua para a topologia discreta em Y, portanto a família de todas as topologias em Y para as quais i é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de Y é precisamente a menor topologia que torna a inclusão uma função contínua.