Espaço de Wiener abstrato

Um espaço de Wiener abstrato é um objeto matemático em teoria da medida, usado para construir uma medida razoável (estritamente positiva e localmente finita) de um espaço vetorial de dimensões infinitas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener. A construção original de Wiener, conhecida como espaço de Wiener clássico, só se aplicava ao espaço de caminhos contínuos de valores reais referentes ao intervalo unitário. Leonard Gross^[1] propôs a generalização ao caso de um espaço de Banach separável comum.

O teorema da estrutura para medidas gaussianas afirma que todas as medidas gaussianas podem ser representadas pela construção de um espaço de Wiener abstrato.

Definição

Considere ${\displaystyle H}$ um espaço de Hilbert separável, ${\displaystyle E}$ um espaço de Banach separável e ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$ um operador linear contínuo injetor com imagem densa (isto é, o fechamento de ${\displaystyle i(H)}$ em ${\displaystyle E}$ é o próprio ${\displaystyle E}$) que radonifica a medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico ${\displaystyle \gamma ^{H}}$ em ${\displaystyle H}$. Então, o triplo ${\displaystyle (i,H,E)}$(ou simplesmente ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$) é chamado de espaço de Wiener abstrato. A medida ${\displaystyle \gamma }$ induzida em ${\displaystyle E}$ é chamada de medida de Wiener abstrata de ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$.

O espaço de Hilbert ${\displaystyle H}$ é às vezes chamado de espaço de Cameron-Martin ou espaço de Hilbert com núcleo reprodutor.

Algumas fontes^[2] consideram ${\displaystyle H}$ um subespaço de Hilbert densamente incorporado do espaço de Banach ${\displaystyle E}$, sendo ${\displaystyle i}$ simplesmente a inclusão de ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle E}$. Não há perda de generalização ao tomar o ponto de vista dos "espaços incorporados" em vez do ponto de vista dos "espaços diferentes" mencionado acima.

Propriedades

• ${\displaystyle \gamma }$ é uma medida de Borel: é definida na sigma-álgebra de Borel gerada pelos subconjuntos abertos de ${\displaystyle E}$.
• ${\displaystyle \gamma }$ é uma medida gaussiana no sentido de que ${\displaystyle f_{*}(\gamma )}$ é uma medida gaussiana em ${\displaystyle R}$ para toda forma linear ${\displaystyle f\in E^{*}}$, ${\displaystyle f\neq 0}$.
• Portanto, ${\displaystyle \gamma }$ é estritamente positiva e localmente finita.
• Se ${\displaystyle E}$ é um espaço de Banach de dimensões finitas, podemos considerar que ${\displaystyle E}$ é isomórfico a ${\displaystyle R^{n}}$ para algum ${\displaystyle n\in N}$. Considerar ${\displaystyle H=R^{n}}$ e ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$ o isomorfismo canônico dá a medida de Wiener abstrata ${\displaystyle \gamma =\gamma ^{n}}$, a medida gaussiana padrão de ${\displaystyle R^{n}}$.
• O comportamento de ${\displaystyle \gamma }$ sob translação é descrito pelo teorema de Cameron-Martin.
• Dados dois espaços de Wiener abstratos ${\displaystyle i_{1}:H_{1}\rightarrow E_{1}}$ e ${\displaystyle i_{2}:H_{2}\rightarrow E_{2}}$, pode-se mostrar que ${\displaystyle \gamma }$₁₂ ${\displaystyle =\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}}$. Em detalhe:

${\displaystyle (i_{1}\times i_{2})_{*}(\gamma ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\gamma ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\gamma ^{H_{2}}\right),}$

isto é, a medida de Wiener abstrata ${\displaystyle \gamma }$₁₂ no produto cartesiano ${\displaystyle E_{1}\times E_{2}}$ é o produto das medidas de Wiener abstratas nos dois fatores ${\displaystyle E_{1}}$ e ${\displaystyle E_{2}}$.

• Se ${\displaystyle H}$ (e ${\displaystyle E}$) são de infinitas dimensões, a imagem de ${\displaystyle H}$ é um conjunto de medida zero, isto é, ${\displaystyle \gamma (i(H))=0}$. Este fato é uma consequência da lei zero-um de Kolmogorov.

Espaço de Wiener clássico

Ver artigo principal: Espaço de Wiener

O espaço de Wiener abstrato mais usado é o espaço de caminhos contínuos, conhecido como espaço de Wiener clássico. Este é o espaço de Wiener abstrato com

${\displaystyle H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{caminhos a partir de 0 com primeira derivada}}\in L^{2}\}}$

com produto interno

${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t,}$

${\displaystyle E=C_{0}([0,T];R^{n})}$com norma

${\displaystyle \|\sigma \|_{C_{0}}:=\sup _{t\in [0,T]}\|\sigma (t)\|_{\mathbb {R} ^{n}},}$

e função inclusão ${\displaystyle i:H\rightarrow E}$. Esta medida ${\displaystyle \gamma }$ é chamada de medida de Wiener clássica ou simplesmente medida de Wiener.

Referências

1. Gross, Leonard (1 de janeiro de 1967). «Abstract Wiener spaces». The Regents of the University of California (em inglês)
2. Bell, Denis R. (1 de janeiro de 2006). The Malliavin Calculus (em inglês). [S.l.]: Dover Publications. ISBN 9780486449944