Domínio fatorial

Em teoria dos anéis, um domínio de integridade ${\displaystyle D}$ é de fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única) ou fatorial se:

1. ${\displaystyle \forall a\in D}$, se ${\displaystyle a\notin D^{*}}$ (onde ${\displaystyle D^{*}}$ é o conjunto das unidades de ${\displaystyle D}$) e ${\displaystyle a\not =0}$ temos que ${\displaystyle \exists c_{i}\in D}$ irredutíveis ${\displaystyle \forall i\in I_{n}}$ tal que ${\displaystyle a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}}$.
2. Seja ${\displaystyle a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}}$ e ${\displaystyle a=\prod _{j=1}^{m}d_{j}}$ com ${\displaystyle c_{i},d_{j}}$ irredutíveis ${\displaystyle \forall i\in I_{n}}$ e${\displaystyle \forall j\in I_{m}}$ ${\displaystyle \Rightarrow m=n}$ e ${\displaystyle \exists \sigma :I_{n}\rightarrow I_{n}}$ bijeção, tal que ${\displaystyle c_{i}}$ é associado a ${\displaystyle d_{\sigma (i)}}$.

Fluxograma das relações entre estruturas algébricas diversas

Exemplos

• O anel dos números inteiros é um domínio fatorial. Usando o teorema fundamental da aritmética e sabendo que as unidades dos inteiros são 1 e -1 e que ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a}$ é associado a ${\displaystyle -a}$ temos:

1. ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} }$, se ${\displaystyle a\notin \{-1,1\}}$ e ${\displaystyle a\not =0}$ temos que ${\displaystyle \exists c_{i}\in D}$ irredutíveis ${\displaystyle \forall i\in I_{n}}$ tal que ${\displaystyle a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}}$.
2. Seja ${\displaystyle a=\prod _{i=1}^{n}c_{i}}$ e ${\displaystyle a=\prod _{j=1}^{m}d_{j}}$ com ${\displaystyle c_{i},d_{j}}$ irredutíveis ${\displaystyle \forall i\in I_{n}}$ e${\displaystyle \forall j\in I_{m}}$ ${\displaystyle \Rightarrow m=n}$ e ${\displaystyle \exists \sigma :I_{n}\rightarrow I_{n}}$ bijeção, tal que ${\displaystyle c_{i}}$ é associado a ${\displaystyle d_{\sigma (i)}}$ (isto é, como ${\displaystyle c_{i}}$ é primo então ${\displaystyle d_{\sigma (i)}=c_{i}}$ ou ${\displaystyle d_{\sigma (i)}=-c_{i}}$).

• Todo corpo é, trivialmente, um domínio fatorial. Este exemplo não parece muito interessante, mas ganha importância como caso particular do próximo exemplo
• Se D é um domínio fatorial, então o anel de polinômios com coeficientes em D, D[x], também é um domínio fatorial

Unidades e D*

Ver artigo principal: Unidade (teoria dos anéis)

Seja ${\displaystyle D}$ um anel comutativo, ${\displaystyle u\in D}$ é unidade, então ${\displaystyle \exists u^{-1}\in D}$ tal que ${\displaystyle uu^{-1}=1}$. O elemento ${\displaystyle u^{-1}}$ é chamado de elemento inverso de ${\displaystyle u}$.

${\displaystyle D^{*}\subset D}$ é o conjunto de todas as unidades de ${\displaystyle D}$. Logo ${\displaystyle u\in D}$ é unidade, então ${\displaystyle u\in D^{*}}$.

• Seja ${\displaystyle 1\in D}$ a identidade. Como ${\displaystyle 1*1=1}$, então ${\displaystyle 1}$ é unidade, e é seu próprio elemento inverso.
• Seja ${\displaystyle D=K}$ um corpo. ${\displaystyle \forall a\in K}$, ${\displaystyle a}$ é unidade. Logo ${\displaystyle K=K^{*}}$.
• Seja ${\displaystyle D=\mathbb {Z} }$.

1. 1, -1 são unidades.
2. Como ${\displaystyle |a||b|=|ab|}$ e ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {Z} ,|x|\geq 1}$. Então${\displaystyle \forall x\in \mathbb {Z} }$ tal que ${\displaystyle |x|\geq 2}$, ${\displaystyle x}$ não é unidade.
3. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}=\{-1,1\}}$.

Divisão para anéis e elementos associados

Sejam ${\displaystyle D}$ um anel comutativo e ${\displaystyle a,b\in D}$, ${\displaystyle a|b}$ (i. é ${\displaystyle a}$ divide ${\displaystyle b}$) se ${\displaystyle \exists q\in D}$, tal que ${\displaystyle b=qa}$. E ainda, ${\displaystyle a,b\in D}$ são associados se ${\displaystyle a|b}$ e ${\displaystyle b|a}$.

• Seja ${\displaystyle D}$ um dominio:

1. Seja ${\displaystyle a,b\in D}$ associados. ${\displaystyle a|b\ e\ b|a\Rightarrow \exists u,u^{-1}\in D}$ tal que ${\displaystyle b=au}$ e ${\displaystyle a=bu^{-1}}$. Logo ${\displaystyle a=0\Leftrightarrow b=0}$.Faça ${\displaystyle a\not =0}$. Então ${\displaystyle a=auu^{-1}\Rightarrow a*(uu^{-1}-1)=0\Rightarrow uu^{-1}-1=0\Rightarrow uu^{-1}=1}$. Logo ${\displaystyle u}$ é unidade. Assim ${\displaystyle \exists u\in D}$ unidade tal que ${\displaystyle b=au}$.
2. Seja ${\displaystyle a,b\in D}$ tal que ${\displaystyle \exists u\in D}$ unidade com ${\displaystyle b=au}$. Logo ${\displaystyle a|b}$. Ainda mais, ${\displaystyle u}$ é unidade, logo ${\displaystyle \exists u^{-1}\in D}$ tal que ${\displaystyle u*u^{-1}=1}$.Assim ${\displaystyle b=au\Rightarrow bu^{-1}=auu^{-1}\Rightarrow bu^{-1}=a}$. E por fim ${\displaystyle b|a}$. Logo ${\displaystyle a|b}$ e ${\displaystyle b|a}$, logo ${\displaystyle a,b}$ são associados.
3. Portanto em um domínio, ${\displaystyle a,b\in D}$ são associados se e somente se ${\displaystyle \exists u\in D}$ unidade tal que ${\displaystyle b=au}$.

• Em um corpo ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \forall x,y\in K}$, x e y são associados.
• Nos inteiros ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle -n}$ é seu associado.

Elementos Irredutíveis

Ver artigo principal: Elemento irredutível

Seja ${\displaystyle A}$ um anel comutativo. Um elemento ${\displaystyle c\in A}$ é irredutivel se ${\displaystyle c\neq 0}$, se ${\displaystyle c\not \in A^{*}}$ e se ${\displaystyle c=ab}$ com ${\displaystyle a,b\in A}$ então ${\displaystyle a}$ ou ${\displaystyle b}$ é unidade.

Uma definição semelhante a de elemento irredutível é a de elemento primo ja que ${\displaystyle p\in A}$ é primo se ${\displaystyle p\neq 0}$, ${\displaystyle p\not \in A^{*}}$ e se ${\displaystyle p|ab}$ com ${\displaystyle a,b\in A}$ então ${\displaystyle p|a}$ ou ${\displaystyle p|b}$.

• Seja ${\displaystyle A}$ um domínio e ${\displaystyle p\in A}$ primo. Seja ${\displaystyle p=ab\Rightarrow p|ab\Rightarrow p|a\ ou\ p|b}$. Sem perda de generalidade, seja ${\displaystyle p|a\Rightarrow \exists q\in A}$ tal que ${\displaystyle a=pq\Rightarrow a=abq}$. Como ${\displaystyle a\not =0}$, então ${\displaystyle b}$ é unidade. Logo p é irredutivel.
• Seja ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]=\{a+ib{\sqrt {5}}|a,b\in \mathbb {Z} \}}$. ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ é um domínio, ${\displaystyle 2,3\in \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ são irredutíveis, mas não são primos já que ${\displaystyle 2*3=6=(1+i{\sqrt {5}})(1-i{\sqrt {5}})}$.

Referências

• Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas (Projeto Euclides)
• Richard A. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata; tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1974. 332 páginas. (com texto, problemas e exercícios)

Ligações externas

• Eric Campos Bastos Guedes; DOMÍNIO FATORIAL - mathfire.sites.uol.com.br

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