Curva de Bézier

A curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação linear entre alguns pontos representativos, chamados de pontos de controle. É uma curva utilizada em diversas aplicações gráficas como o Illustrator, Freehand, Fireworks, GIMP, Photoshop, Processing, Inkscape, Krita e CorelDRAW, e formatos de imagem vetorial como o SVG. Esse tipo de curva também pode originar Superfícies de Bézier, bastante utilizadas em modelagem tridimensional, animações, design de produtos, engenharia, arquitetura entre outras aplicações.

Exemplo de uma curva de Bézier cúbica

Ela foi desenvolvida em 1962 e seu nome é devido a quem publicou o primeiro trabalho sobre a curva, o francês Pierre Bézier, funcionário da Renault, que a usou para o design de automóveis. Ela foi estruturada a partir do algoritmo de Paul de Casteljau, da Citroën, em 1957, e foi formalizada na década de 60.^[1]

Descrição

Animação de uma curva de Bézier linear, t em [0,1]

Animação de uma curva de Bézier quadrática, t em [0,1]

Animação de uma curva de Bézier cúbica, t em [0,1]

A curva simplesmente baseia seu cálculo no Binômio de Newton para a resolução de seus coeficientes e é resolvida facilmente através de:

${\displaystyle {\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\,\!.\;\;x=t\;,\;y=(1-t)}$

O índice t é um valor de parametrização para percorrer a curva e pode ser qualquer valor entre zero e um, n é o grau do Binômio, tal que usamos ${\displaystyle n+1}$ pontos de controle para cada curva que desejamos desenhar. ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}}$ são coeficientes binomiais. Por exemplo, para a resolução de ${\displaystyle (t+(1-t))^{2}}$ usaríamos 3 pontos de controle e obteríamos curvas quadráticas, com o uso do binômio ${\displaystyle (t+(1-t))^{3}}$ usaríamos 4 pontos de controle e obteríamos curvas cúbicas. Os pontos de controle ${\displaystyle B_{i}}$ podem ser escolhidos aleatoriamente, e devem ser multiplicados cada um por uma das parcelas do binômio resolvido. O i-ésimo coeficiente da interpolação é obtido através do Binômio de Newton e é um polinômio da forma:

${\displaystyle P_{in}(t)={n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}}$

Um ponto na curva correspondente a t é dado por:

${\displaystyle {B}(t)=\sum _{i=0}^{n}P_{in}(t)*{B}_{i}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}*{B}_{i}}$

Em que o número de pontos de controle é n mais 1, t assume um valor tal que ${\displaystyle t\in \Re ,0\leq t\leq 1}$, ${\displaystyle B_{i}}$ é o i-ésimo ponto de controle. É importante salientar que todos os pontos da curva devem estar dentro da região delimitada pelos seus pontos de controle, seu fecho convexo.^[2]

Curva de Bézier Linear

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {B} _{0}+t\mathbf {B} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

Curva de Bézier Quadrática

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {B} _{0}+2t(1-t)\mathbf {B} _{1}+t^{2}\mathbf {B} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$

Curva de Bézier Cúbica

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {B} _{0}+3t(1-t)^{2}\mathbf {B} _{1}+3t^{2}(1-t)\mathbf {B} _{2}+t^{3}\mathbf {B} _{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$

Referências

1. Teoria Local das Curvas, Roberto Simoni (2005), p. 53, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
2. Wolfram Mathworld, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.

Ver também

• Binómio de Newton
• Superfícies de Bézier

Ligações externas

• «The math behind the Bézier curve» (em inglês)

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