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As coordenadas parabólicas são um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. A versão tridimensional das coordenadas parabólicas é obtida através da rotação do sistema bidimensional sobre o eixo de simetria de todas as parábolas.
Este artigo ou secção contém uma lista de referências no fim do texto, mas as suas fontes não são claras porque não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (Maio de 2012) |
As coordenadas parabólicas possuem muitas aplicações, por exemplo, no tratamento do efeito Stark e da teoria potencial das arestas.
AS coordenadas parabólicas bidimensionais são definidas pelas equações
As curvas com constante formam parábolas confocais
voltadas para cima (ou seja, no sentido ), ao passo que as curvas com constante formam parábolas confocais
voltadas para baixo (ou seja, no sentido ). Os focos de todas essas parábolas estão localizados na origem.
Os fatores de escala para as coordenadas parabólicas são iguais a
Daí, o elemento infinitesimal de área é
E o laplaciano vale
Outros operadores diferenciais tais como e podem ser expressos nas coordenadas (σ, τ) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais para coordenadas ortogonais.
As coordenadas parabólicas bidimensionais formam a base para dois conjuntos de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas cilíndricas parabólicas são produzidas por projeção na direção .
A rotação sobre o eixo de simetria das parábolas produz um conjunto de paraboloides confocais, formando um sistema de coordenadas que também é conhecido como "coordenadas parabólicas"
onde as parábolas estão alinhadas com o eixo , sobre o qual a rotação foi realizada. Assim, o ângulo azimutal é definido por
As superfícies cujo é constante formam paraboloides confocais
Com concavidade para cima (ou seja, no sentido ), enquanto que as superfícies com constante formam paraboloides confocais
de concavidade para baixo (ou seja, na direção ). Os focos de todos estes paraboloides estão localizados na origem.
O tensor métrico de Riemann associado a este sistema de coordenadas é
Os três fatores de escala tridimensionais são:
Nota-se que os fatores de escala e são os mesmos do caso bidimensional. O elemento infinitesimal de volume é então
E o laplaciano é dado por
Outros operadores diferenciais tais como e podem ser expresso nas coordenadas substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais encontradas em coordenadas ortogonais.
A conversão de coordenadas cartesianas para as parabólicas é efetuada através da seguinte transformação:
O jacobiano da transformação de coordenadas dado em termos infinitesimais como sendo
sob as condições e
Se φ = 0, então uma seção transversal é obtida; as coordenadas se limitam ao plano xz:
Se η=c (uma constante), então
Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima.
Se ξ=c então
Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria é vertical e sua concavidade é voltada para baixo.
Agora considere qualquer parábola η=c para cima e qualquer parábola ξ= b para baixo. É desejável encontrar sua interseção:
rearrumando,
evidenciando x²,
cancelando os fatores comuns de ambos os lados,
tomando a raiz quadrada,
x é a média geométrica de b e c. A abscissa da intersecção foi encontrada. Vamos encontrar a ordenada. Substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para cima:
em seguida, substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para baixo:
zc = zb, com deveria ser. Logo, o ponto de intersecção é
Desenhe um par de tangentes através do ponto P, cada uma tangente a cada parábola. A reta tangente através do ponto P à parábola superior tem inclinação:
A reta tangente através do ponto P à parábola inferior tem inclinação:
O produto das duas inclinações é
O produto das inclinações é “uma inclinação negativa”, pois as retas são perpendiculares. Isto é verdade para qualquer par de parábolas com concavidades em direções opostas.
Assim, um par de parábolas intercepta-se em dois pontos, mas quando φ é zero, ele realmente limita as outras coordenadas ξ e η a se moverem no semiplano com x>0, pois x<0 corresponde a φ = π.
Desta forma, um par de coordenadas ξ e η especificam um único ponto no semiplano. Então, fazendo φ entre 0 e 2π, o semiplano gira com o ponto (em torno do eixo z, que é a dobradiça): as parábolas formam paraboloides. Um par de paraboloides opostos formam um círculo, e um valor de φ especifica um semiplano que corta o círculo de intersecção em um único ponto. As coordenadas cartesianas dos pontos são [Menzel, p. 139]:
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