Constante mágica

A constante mágica ou soma mágica de um quadrado mágico é a soma dos números de qualquer linha, coluna ou diagonal de uma quadrado mágico. Por exemplo, o quadrado mágico mostrado abaixo tem uma constante mágica de 15.

O termo constante mágica ou soma mágica é similarmente aplicado a outras figuras "mágicas" como a estrela mágica e o cubo mágico.

Quadrados mágicos normais

Se um quadrado mágico de ordem n for normal normal (i.e., ele contém os números de 1 a n²), então a constante mágica depende apenas de n e seu valor é dado por

${\displaystyle M_{2}(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}$.

Essa fórmula é a consequência da fórmula para a soma dos primeiros n inteiros

${\displaystyle 1+2+...+k={\frac {k(k+1)}{2}}}$

aplicada para o caso k = n², fornecendo n²(n²+1)/2, que é então dividido por n porque existem n linhas, sendo que todas somam o mesmo valor.

As constantes mágicas de quadrados mágicos normais de ordem n = 3, 4, 5, … são:

15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870...

formando a sequência A006003 da OEIS

Os números em qualquer linha, coluna ou diagonal de um quadrado mágico normal formam uma série mágica.

Cubos mágicos

Da mesma forma, se um cubo mágico consiste nos números 1, 2, ..., n³, então ele também tem uma constante mágica (sequência A027441 na OEIS)

${\displaystyle M_{3}(n)={\frac {n(n^{3}+1)}{2}}.}$

Estrelas mágicas

A constante mágica de uma estrela mágica normal de n pontas é M = 4n + 2.

Ligações externas

• «260 as magic constant for 8-queens problem and 8x8 magic square» (em inglês)