Consistência
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Na lógica clássica dedutiva, uma teoria é chamada de consistente se não contém contradição. A ausência de contradição pode ser definida tanto em termos sintáticos como em termos semânticos. A definição semântica diz que uma teoria é consistente, se e somente se, tem um modelo, i.e. existe uma interpretação sob as quais todas as fórmulas são verdadeiras. Essa é a compreensão usada na lógica aristotélica, embora na lógica matemática contemporânea o termo usado é satisfatível. A definição sintática diz que uma teoria é consistente, se e somente se, não existe nenhuma fórmula P, tal que tanto P como sua negação são demonstráveis a partir dos axiomas da teoria do sistema dedutivo, as quais estão associados.
Se as definições semânticas e sintáticas são equivalentes para qualquer teoria formulada usando a lógica dedutiva, a lógica é chamada de completa. A completude da lógica proposicional foi provada por Paul Bernays em 1918 e Emil Post em 1921, enquanto a completude da lógica de predicados foi provada por Kurt Gödel em 1930 e a prova de consistência para aritmética restrita que serve para o axioma da indução matemática foi provada por Ackermann (1924), von Neumann (1927) e Herbrand (1931). Lógicas mais fortes, como a lógica de segunda ordem, não são completas.
Uma prova de consistência é uma prova matemática que uma teoria particular é consistente. O desenvolvimento precoce da teoria da prova matemática foi dirigida pelo desejo de fornecer provas finitas consistentes para toda a matemáticas, como parte do programa de Hilbert. O programa de Hilbert foi fortemente impactado pelos teoremas da incompletude, que mostraram que teorias de provas suficientemente fortes não podem provar suas próprias consistências (dado que elas sejam de fato consistentes).
Embora consistência possa ser provada por meio da teoria dos modelos, muitas vezes é feito simplesmente pelo método sintático, sem precisar de fazer nenhuma referência a algum modelo da lógica. O teorema da eliminação do corte (ou equivalentemente a normalização do cálculo subjacente, caso exista algum) implica a consistência do cálculo: desde de que não exista obviamente uma prova de corte livre da falsidade, no geral, não existe nenhuma contradição.