Conjunto de partes

A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado ${\displaystyle A}$ é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de ${\displaystyle A}$, denotado por ${\displaystyle P(A)}$ ou ${\displaystyle 2^{A}}$. ^[1]

Exemplo

Diagrama de Hasse das inclusões entre os subconjuntos de S.

Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de S é:

• { } (o conjunto vazio);
• {x};
• {y};
• {z};
• {x, y};
• {x, z};
• {y, z};
• {x, y, z};

e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos:

P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.

Cardinalidade

O número de elementos do conjunto de partes de S é sempre maior que o número de elementos de S, mesmo no caso de S ter um número infinito de elementos.

Se S tem n elementos, pode-se provar que P(S) tem ${\displaystyle 2^{n}}$ elementos. No caso de S ser um conjunto infinito, define-se ${\displaystyle 2^{|S|}=|P(S)|}$ (em que |S| representa o número de elementos de S). Por outro lado, sendo ${\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |}$, também pode ser provado que ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |}$.

A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle P(\mathbb {N} )}$, ou seja, um conjunto com mais elementos que ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e menos elementos que ${\displaystyle P(\mathbb {N} )}$.

Teoria dos Conjuntos

Na Teoria dos Conjuntos, em particular na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe um axioma cuja finalidade é garantir a existência do conjunto das partes: o axioma da potência.

Ver também

• Wikilivro b:Matemática elementar/Conjuntos, com a demonstração de que P(S) tem 2ⁿ elementos

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1. https://www.scientificamerican.com/article/a-deep-math-dive-into-why-some-infinities-are-bigger-than-others/