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Em topologia, conexidade (português brasileiro) ou conectividade (português europeu) é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.[1]
Uma cisão de um conjunto é a decomposição em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que e . Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.[1]
Os subconjuntos e são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de . Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então é conexo. Por outro lado, se existe não-vazio aberto e fechado em , então é desconexo.[2]
Mesmo que um conjunto não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.[7]
A componente conexa é o maior subconjunto conexo que contém .[7] Para quaisquer dois pontos de , suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.[7]
Por exemplo, para , a componente conexa de é e a componente conexa de é . No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.[7]
Toda componente conexa de é um conjunto fechado em .[7]
Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.[7] Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.[7]
Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.[8]
Um caminho num conjunto é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de . Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho tal que esses pontos estejam na imagem de .[9] Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.[9]
Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.[10] Por exemplo, no o gráfico da função para com a origem é conexo mas não é conexo por caminhos.[10]
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