Cálculo fraccional de conjuntos

O Cálculo Fraccional de Conjuntos (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionado pela primeira vez no artigo intitulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",^[1] é uma metodologia derivada do Cálculo Fraccional.^[2] O conceito principal por trás do FCS é a caracterização dos elementos do cálculo fraccional usando conjuntos devido à grande quantidade de operadores fraccionales disponíveis.^[3][4][5] Essa metodologia surgiu a partir do desenvolvimento do método de Newton-Raphson Fraccional^[6] e trabalhos relacionados subsequentes.^[7][8][9]

Ilustração de algumas linhas geradas pelo método de Newton–Raphson fraccional para a mesma condição inicial ${\displaystyle x_{0}}$ mas com diferentes ordens ${\displaystyle \alpha }$ do operador fracionário implementado. Fonte: Applied Mathematics and Computation

Conjunto O x , α n ( h ) {\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h)} de Operadores Fraccionales

O cálculo fraccional, um ramo da matemática que lida com derivadas de ordem não inteira, surgiu quase simultaneamente com o cálculo tradicional. Esse surgimento foi em parte devido à notação de Leibniz para derivadas de ordem inteira: ${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}$. Graças a essa notação, L’Hopital pôde perguntar em uma carta a Leibniz sobre a interpretação de tomar ${\displaystyle n={\frac {1}{2}}}$ em uma derivada. Naquela época, Leibniz não conseguiu fornecer uma interpretação física ou geométrica para essa pergunta, então simplesmente respondeu a L’Hopital em uma carta que "... é uma aparente paradoxo do qual, algum dia, surgirão consequências úteis".

O nome "cálculo fraccional" origina-se de uma pergunta histórica, já que este ramo da análise matemática estuda derivadas e integrais de uma certa ordem ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. Atualmente, o cálculo fraccional carece de uma definição unificada do que constitui uma derivada fraccional. Consequentemente, quando não é necessário especificar explicitamente a forma de uma derivada fraccional, tipicamente é denotada da seguinte forma:

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}$

Os operadores fraccionales têm várias representações, mas uma de suas propriedades fundamentais é que recuperam os resultados do cálculo tradicional à medida que ${\displaystyle \alpha \to n}$. Considerando uma função escalar ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ e a base canônica de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ denotada por ${\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}$, o seguinte operador fraccional de ordem ${\displaystyle \alpha }$ é definido usando a notação de Einstein:^[10]

${\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}$

Denotando ${\displaystyle \partial _{k}^{n}}$ como a derivada parcial de ordem ${\displaystyle n}$ com respeito ao componente ${\displaystyle k}$-ésimo do vetor ${\displaystyle x}$, define-se o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

${\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ e }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},}$

cujo complemento é:

${\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ e }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ para pelo menos um }}k\geq 1\right\}.}$

Como consequência, define-se o seguinte conjunto:

${\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).}$

Extensão para Funções Vetoriais

Para uma função ${\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$, o conjunto é definido como:

${\displaystyle {}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},}$

onde ${\displaystyle [h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ denota o ${\displaystyle k}$-ésimo componente da função ${\displaystyle h}$.

Conjunto m M O x , α ∞ , u ( h ) {\displaystyle {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)} de Operadores Fraccionales

O conjunto de operadores fraccionales considerando ordens infinitas é definido como:

${\displaystyle {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h):=\bigcap _{k\in \mathbb {Z} }{}_{m}O_{x,\alpha }^{k,u}(h),}$

onde sob o produto de Hadamard ^[11] clássico temos que:

${\displaystyle o_{x}^{0}\circ h(x):=h(x)\quad \forall o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h).}$

Operadores Matriciais Fraccionales

Para cada operador ${\displaystyle o_{x}^{\alpha }}$, o operador matricial fraccional é definido como:

${\displaystyle A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })=\left([A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{\alpha }\right),}$

e para cada operador ${\displaystyle o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)}$, pode-se definir a seguinte matriz, correspondente a uma generalização da matriz Jacobiana:^[12]

${\displaystyle A_{h,\alpha }:=A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })\circ A_{\alpha }^{T}(h),}$

onde ${\displaystyle A_{\alpha }(h):=\left([A_{\alpha }(h)]_{jk}\right)=\left([h]_{k}\right)}$.

Produto de Hadamard Modificado

Considerando que, em geral, ${\displaystyle o_{x}^{p\alpha }\circ o_{x}^{q\alpha }\neq o_{x}^{(p+q)\alpha }}$, define-se o seguinte produto de Hadamard modificado:

${\displaystyle o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha }:=\left\{{\begin{array}{cl}o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha },&{\text{se }}i\neq j\ ({\text{produto de Hadamard tipo horizontal}})\\o_{i,x}^{(p+q)\alpha },&{\text{se }}i=j\ ({\text{produto de Hadamard tipo vertical}})\end{array}}\right.,}$

com o qual se obtém o seguinte teorema:

Teorema: Grupo Abeliano de Operadores Matriciais Fraccionales

Seja ${\displaystyle o_{x}^{\alpha }}$ um operador fraccional tal que ${\displaystyle o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)}$. Considerando o produto de Hadamard modificado, define-se o seguinte conjunto de operadores matriciais fraccionales:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })):=\left\{A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }(o_{x}^{r\alpha }):r\in \mathbb {Z} \ {\text{ e }}\ A_{\alpha }^{\circ r}=\left([A_{\alpha }^{\circ r}]_{jk}\right):=\left(o_{k}^{r\alpha }\right)\right\},\end{array}}\quad (1)}$

que corresponde ao grupo Abeliano ^[13] gerado pelo operador ${\displaystyle A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })}$.

Demonstração

Dado que o conjunto na equação (1) é definido aplicando apenas o produto de Hadamard tipo vertical entre seus elementos, para todos ${\displaystyle A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))}$ tem-se que:

${\displaystyle A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=\left([A_{\alpha }^{\circ p}]_{jk}\right)\circ \left([A_{\alpha }^{\circ q}]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{(p+q)\alpha }\right)=\left([A_{\alpha }^{\circ (p+q)}]_{jk}\right)=A_{\alpha }^{\circ (p+q)},}$

com o qual é possível demonstrar que o conjunto (1) satisfaz as seguintes propriedades de um grupo Abeliano:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q},A_{\alpha }^{\circ r}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \left(A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}\right)\circ A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }^{\circ p}\circ \left(A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ r}\right)\\\exists A_{\alpha }^{\circ 0}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tal que}}\ \forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ 0}\circ A_{\alpha }^{\circ p}=A_{\alpha }^{\circ p}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \exists A_{\alpha }^{\circ -p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tal que}}\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ -p}=A_{\alpha }^{\circ 0}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ p}\end{array}}\right..}$

Conjunto m S x , α n , γ ( h ) {\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)} de Operadores Fraccionales

Seja ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ o conjunto ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$. Se ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {N} _{0}^{m}}$ e ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$, então é possível definir a seguinte notação multi-índice:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\begin{array}{ccc}\displaystyle \gamma$ !:=\prod _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k}!,&|\gamma |:=\displaystyle \sum _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k},&\displaystyle x^{\gamma }:=\prod _{k=1}^{m}[x]_{k}^{[\gamma ]_{k}}\end{array}}\\\displaystyle {\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}:={\frac {\partial ^{[\gamma ]_{1}}}{\partial [x]_{1}}}{\frac {\partial ^{[\gamma ]_{2}}}{\partial [x]_{2}}}\cdots {\frac {\partial ^{[\gamma ]_{m}}}{\partial [x]_{m}}}\end{array}}\right..}

Então, considerando uma função ${\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ e o operador fraccional:

${\displaystyle s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right):=o_{1}^{\alpha [\gamma ]_{1}}o_{2}^{\alpha [\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{\alpha [\gamma ]_{m}},}$

define-se o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

${\displaystyle S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }=s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right)\$ :\ \exists s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)\ {\text{com}}\ o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{s}(h)\ \forall s\leq n^{2}\ {\text{e}}\ \lim _{\alpha \to k}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)={\frac {\partial ^{k\gamma }}{\partial x^{k\gamma }}}h(x)\ \forall \alpha ,|\gamma |\leq n\right\}.}

De onde se obtêm os seguintes resultados:

${\displaystyle {\text{Se }}s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)\ \Rightarrow \ \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{0}o_{2}^{0}\cdots o_{m}^{0}h(x)=h(x)\\\displaystyle \lim _{\alpha \to 1}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{[\gamma ]_{1}}o_{2}^{[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}h(x)\ \forall |\gamma |\leq n\\\displaystyle \lim _{\alpha \to q}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{q[\gamma ]_{1}}o_{2}^{q[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{q[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{q\gamma }}{\partial x^{q\gamma }}}h(x)\ \forall q|\gamma |\leq qn\\\displaystyle \lim _{\alpha \to n}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{n[\gamma ]_{1}}o_{2}^{n[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{n[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{n\gamma }}{\partial x^{n\gamma }}}h(x)\ \forall n|\gamma |\leq n^{2}\end{array}}\right..}$

Como consequência, considerando uma função ${\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$, define-se o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

${\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }\$ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }\left([h]_{k}\right)\ \forall k\leq m\right\}.}

Conjunto m T x , α ∞ , γ ( a , h ) {\displaystyle {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)} de Operadores Fraccionales

Considerando uma função ${\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ e o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

${\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h):=\lim _{n\to \infty }{}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h).}$

Então, tomando uma bola ${\displaystyle B(a;\delta )\subset \Omega }$, é possível definir o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

${\displaystyle {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h):=\left\{t_{x}^{\alpha ,\infty }=t_{x}^{\alpha ,\infty }\left(s_{x}^{\alpha \gamma }\right)\$ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in {}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h)\ {\text{e}}\ t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x):=\sum _{|\gamma |=0}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\right\},}

o qual permite generalizar a expansão em série de Taylor de uma função vetorial em notação multi-índice. Como consequência, é possível obter o seguinte resultado:

${\displaystyle {\text{Se }}t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rl}t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x)=&\displaystyle {\hat {e}}_{j}[h]_{j}(a)+\sum _{|\gamma |=1}{\frac {1}{\gamma$ !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\\=&\displaystyle h(a)+\sum _{k=1}^{n}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[h]_{j}(a)\left[(x-a)\right]_{k}+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\end{array}}\right..}

Método de Newton-Raphson Fraccional

Seja ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ uma função com um ponto ${\displaystyle \xi \in \Omega }$ tal que ${\displaystyle \|f(\xi )\|=0}$. Então, para algum ${\displaystyle x_{i}\in B(\xi$ ;\delta )\subset \Omega } e um operador fraccional ${\displaystyle t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(x_{i},f)}$, é possível definir um tipo de aproximação linear da função ${\displaystyle f}$ ao redor de ${\displaystyle x_{i}}$ da seguinte maneira:

${\displaystyle t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\sum _{k=1}^{m}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\left[(x-x_{i})\right]_{k},}$

o que pode ser expresso de forma mais compacta como:

${\displaystyle t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(x-x_{i}),}$

onde ${\displaystyle \left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)}$ denota uma matriz quadrada. Por outro lado, se ${\displaystyle x\to \xi }$ e dado que ${\displaystyle \|f(\xi )\|=0}$, infere-se o seguinte:

${\displaystyle 0\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(\xi -x_{i})\quad \Rightarrow \quad \xi \approx x_{i}-\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)^{-1}f(x_{i}).}$

Como consequência, definindo a matriz:

${\displaystyle A_{f,\alpha }(x)=\left([A_{f,\alpha }]_{jk}(x)\right):=\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x)\right)^{-1},}$

é possível definir o seguinte método iterativo fraccional:

${\displaystyle x_{i+1}:=\Phi (\alpha ,x_{i})=x_{i}-A_{f,\alpha }(x_{i})f(x_{i}),\quad i=0,1,2,\cdots ,}$

que corresponde ao caso mais geral do método de Newton-Raphson fraccional.

Ilustração de algumas linhas geradas pelo método de Newton–Raphson fraccional para a mesma condição inicial ${\displaystyle x_{0}}$, mas com diferentes ordens ${\displaystyle \alpha }$ do operador fracional implementado. O método de Newton–Raphson fracional geralmente gera linhas que não são tangentes à função ${\displaystyle f}$ cujas raízes estão sendo procuradas, ao contrário do método clássico de Newton–Raphson. Fonte: MDPI

O uso de operadores fraccionales em métodos de ponto fixo tem sido amplamente estudado e citado em várias fontes acadêmicas. Exemplos disso podem ser encontrados em vários artigos publicados em revistas renomadas, como os apresentados em ScienceDirect ^[14], ^[15], Springer ^[16], World Scientific ^[17], e MDPI ^[18], ^[19], ^[20], ^[21], ^[22], ^[23], ^[24], ^[25] . Estudos também estão incluídos de Taylor & Francis (Tandfonline) ^[26] , Cubo ^[27] , Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas ^[28], Journal of Research and Creativity ^[29], MQR ^[30] , e Актуальные вопросы науки и техники ^[31]. Estes trabalhos destacam a relevância e aplicabilidade dos operadores fraccionales na solução de problemas.

Referências

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8. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming
9. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications
10. Einstein summation for multidimensional arrays
11. The hadamard product
12. Jacobians of matrix transformation and functions of matrix arguments
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