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subconjunto de um espaço vetorial que possibilita a definição de coordenadas Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Na álgebra linear, uma base de um espaço vectorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço.[1]
Se é um espaço vectorial sobre um corpo chama-se base de a um conjunto de vectores de linearmente independentes que gera
que se denomina a sua base canónica.
Um espaço vectorial pode ter mais de uma base. De facto, um espaço vectorial só pode ter uma única base nos seguintes casos:
Os seguintes resultados, porém, são válidos:
Usando-se uma forma equivalente do axioma da escolha, o Lema de Zorn, é fácil mostrar que todo espaço vectorial tem uma base e, mais geralmente, provar que, para qualquer conjunto linearmente independente de vectores de existe uma base de que contém Seja o conjunto de todos as partes linearmente independentes de que contêm O conjunto está parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos. Seja uma parte de totalmente ordenada. Então é majorado; basta ver que a união de todos os elementos de é novamente linearmente independente e contém (ou seja, pertence a ) e que contém todos os elementos de O lema de Zorn afirma então que tem algum elemento maximal Então, como ∈ é linearmente independente e contém Se não gerasse haveria algum vector ∈ que não seria combinação linear de elementos de Então ∪ seria também um conjunto linearmente independente que conteria Mas ⊂ ∪ e ≠ ∪ o que está em contradição com ser um elemento maximal de Logo, gera e, portanto, é uma base.
Se o espaço vectorial tem uma base e é um subespaço vectorial de então tem uma base com as seguintes propriedades:
Outra propriedade importante é a seguinte:
Este resultado, no caso infinito, depende do axioma da escolha.
Uma boa forma de interpretar o conceito de Base é pensar nas cores primárias: se misturarmos amarelo, magenta e azul ciano nas proporções correctas podemos criar qualquer outra cor que desejemos. Além do mais, tal proporção é única para a cor desejada. Da mesma forma, uma Base permite-nos, de maneira única, combinar linearmente ("misturar") os seus vectores ("cores primárias") para obtermos o vector ("a cor") que pretendemos.
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