Álgebra associativa
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Em matemática, uma álgebra associativa é uma estrutura algébrica, com operações compatíveis de adição, multiplicação (que se supõe ser associativa), e uma multiplicação por escalar por elementos de algum corpo K. As operações de adição e de multiplicação em conjunto fazem de A um anel; já as operações de adição e de multiplicação por escalar em conjunto fazem de A um espaço vetorial sobre K. Neste artigo, também será usada a expressão K-álgebra para se referir a uma álgebra associativa sobre o corpo K. Uma K-álgebra que geralmente aparece como primeiro exemplo é um anel de matrizes quadradas sobre um corpo K, com a multiplicação de matrizes usual.
Neste artigo assume-se que as álgebras associativas têm uma unidade multiplicativa, denotada por 1; às vezes elas são chamadas de álgebras associativas com unidade para tornar isso mais claro. Em algumas áreas da matemática não se faz esta suposição, mas aqui tais estruturas serão denominadas não-unital ou sem unidade álgebras associativas. Também será assumido que todos os anéis são unitais, e que todos os homomorfismos de anel são unitais.
Muitos autores consideram o conceito mais geral de uma álgebra associativa sobre um anel comutativo R, em vez de um corpo: Uma R-álgebra é um R-módulo com uma operação binária R-bilinear associativa, que também contém uma identidade multiplicativa. Para exemplos deste conceito, se S é qualquer anel com centro C, então S é uma C-álgebra associativa.