Fonsion continua

Ël concet ëd fonsion continua a l'é un dij pì amportant ant la matemàtica e a l'é gropà s-ciass a col ëd lìmit. Definission Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ a son dë spassi topològich, na fonsion ${\displaystyle f:X\to Y}$ as dis continua si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem duvert d'${\displaystyle Y}$ a l'é 'n sot-ansem duvert d'${\displaystyle X}$. Formolassion equivalente A-i son d'àutre manere equivalente ëd fortì la continuità 'd na fonsion. Ch'as considera torna na fonsion ${\displaystyle f:X\to Y}$ an tra jë spassi topològich X e Y: f a l'é continua si e mach si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem sarà d'Y a l'é 'n sot-ansem sarà d'X; f a l'é continua si e mach si ${\displaystyle f({\bar {S}})\subseteq {\overline {f(S)}}}$ për minca ${\displaystyle S\subseteq X}$. Sa dariera formolassion a dà cont dl'intuission ch'a-i é daré al concet ëd fonsion continua: na fonsion a l'é continua cand, dàit n'ansem S e 'n pont x tacà s-ciass a S, l'imàgin d'x a l'é tacà s-ciass a l'imàgin d'S. Teorema fondamentaj an sle fonsion continue La continuità 'd na fonsion ${\displaystyle f:X\to Y}$ a dipend mach d'la topologìa ansima a f(X): Teorema. Na fonsion ${\displaystyle f:X\to Y}$ a l'é continua si e mach si ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ a-l l'é. Teorema. Si ${\displaystyle f:X\to Y}$ a l'é continua e ${\displaystyle A\subseteq X}$, antlora la restrission ${\displaystyle f|_{A}:A\to Y}$ a l'é continua. Për controlé si na fonsion a l'é continua a basta controlé la definission ansima a na bas dël codomini: Teorema. Ch'as considera na fonsion ${\displaystyle f:X\to Y}$ e na bas B d'Y. Antlora f a l'é continua si e mach si ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ a l'é duvert për minca ${\displaystyle U\in B}$. Le fonsion continue a son sarà për composission: Teorema. Si ${\displaystyle f:X\to Y,g:Y\to Z}$ a son continue, antlora ëdcò ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ a l'é continua. Esempi L'identità ${\displaystyle X\to X}$ a l'é na fonsion continua. Si Y a l'é në spassi topològich banal, antlora minca ${\displaystyle f:X\to Y}$ a l'é continua. Si X a l'é në spassi topològich discret, antlora minca ${\displaystyle f:X\to Y}$ a l'é continua. La curva ëd Peano a l'é na fonsion continua ${\displaystyle [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$. Fonsion continue e spassi métrich La descrission ëd la continuità dle fonsion an tra spassi métrich as peul desse an dovrand le distanse o ij lìmit dle sequense: Teorema. Na fonsion ${\displaystyle f:X\to Y}$ an tra jë spassi métrich (o bele mach pséudo-métrich) (X,d) e (Y,d') a l'é continua si e mach si, dàit ${\displaystyle \varepsilon >0}$ a-i é ${\displaystyle \delta >0}$ con la proprietà che ${\displaystyle d(a,b)<\delta \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon }$. Teorema. Na fonsion ${\displaystyle f:X\to Y}$ an tra jë spassi métrich X e Y a l'é continua si e mach si për minca sequensa convergent ${\displaystyle (x_{n})}$ d'X, la sequensa ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ a convergg e a val l'ugualiansa ${\displaystyle f(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})}$. Continuità ant un pont Dàita la fonsion ${\displaystyle f:X\to Y}$ an tra jë spassi topològich X e Y, e pijà un pont ${\displaystyle x\in X}$ as dis che f a l'é continua an x si la contra-imàgin ëd minca anviron d'f(x) a l'é n'anviron d'x. Ij concet ëd continuità e continuità ant un pont a son gropà dal teorema sì da press. Teorema. Na fonsion ${\displaystyle f:X\to Y}$ an tra jë spassi topològich X e Y a l'é continua si e mach si a l'é continua an tuti ij pont d'X. Omeomorfism Na bijession ${\displaystyle f:X\to Y}$ an tra jë spassi topològich X e Y as dis n'omeomorfism cand sia f che soa anversa ${\displaystyle f^{-1}}$ a son continue. Ant ës cas-sì as dis che X e Y a son omeomòrfich. N'omeomorfism a l'é na bijession ch'a conserva tute le proprietà topològiche. La relassion d'omeomorfism a l'é na relassion d'equivalensa an tra jë spassi topològich. Esempi Doi spassi banal, o doi spassi discret, a son omeomòrfich si e mach si a l'han la midema cardinalità. La linia real e minca anterval duvert, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich. Doi antervaj sarà dla linia real, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich. Ël pian euclidéo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ e 'l sercc duvert ${\displaystyle \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\}}$ a son omeomòrfich. Topologìe déboj Ël concet ëd fonsion continua a peul esse dovrà për la definission ëd na topologìa ansima a n'ansem X s'as dispon ëd na colession ëd fonsion a valor andrinta a dë spassi topològich: dàita na colession ëd fonsion ${\displaystyle F=\{f_{a}:X\to Y_{a}\}}$ anté che minca ${\displaystyle Y_{a}}$ a l'é në spassi topològich, a-i é na topologìa pì cita ëd tute ansima a X ch'a rend continue tute le fonsion ${\displaystyle f_{a}}$. Costa topologìa as ciama topologìa débol generà da F.