Zasada najmniejszego działania

Zasada najmniejszego działania Hamiltona – zasada wariacyjna służąca do znajdowania równań ruchu układów fizycznych złożonych z jednej lub wielu cząstek. Zasada ta została podana przez Williama R. Hamiltona w 1834 roku^[1] i stanowi jedną z fundamentalnych zasad fizyki klasycznej (porównaj: fizyka kwantowa).

Działanie Hamiltona

Działaniem Hamiltona obliczonym dla trajektorii ${\displaystyle q(t)}$ w przestrzeni konfiguracyjnej układu fizycznego, łączącej punkt ${\displaystyle q_{1}}$ w chwili ${\displaystyle t_{1}}$ z punktem ${\displaystyle q_{2}}$ w chwili ${\displaystyle t_{2}}$ nazywamy całkę z funkcji Lagrange’a danego układu fizycznego, tj.

${\displaystyle S[q]=\int _{t_{1},q_{1}}^{t_{2},q_{2}}L[q(t),{\dot {q}}(t),t]\mathrm {d} t.}$

Działanie zależy od trajektorii ${\displaystyle q(t),}$ wzdłuż której się je liczy.

Przykład

Dla cząstki swobodnej w przestrzeni ${\displaystyle R^{3}}$ funkcja Lagrange’a jest po prostu równa energii kinetycznej

${\displaystyle L[q(t),{\dot {q}}(t),t]={\frac {mv^{2}}{2}},}$

gdzie:

${\displaystyle v={\dot {q}}(t)=const.}$

Na podstawie zasady Hamiltona (patrz niżej) można wyprowadzić równanie Eulera-Lagrange’a, które jest równaniem ruchu cząstki o takiej funkcji Lagrange’a – w tym wypadku otrzyma się równanie Newtona w postaci

${\displaystyle {\ddot {q}}(t)=0.}$

Zasada Hamiltona

Gdy układ porusza się, to punkt q opisujący jego stan w przestrzeni konfiguracyjnej kreśli trajektorię. Spośród wielu możliwych trajektorii łączących dane punkty (q1, t1) oraz (q2, t2) (niebieskie linie) rzeczywista trajektoria układu (czerwona) daje ekstremum działania (δS = 0) – niewielkie zmiany δq tej trajektorii nie zmieniają działania.

Zasada Hamiltona głosi, że:

Rzeczywisty układ fizyczny porusza się po trajektorii, dla której działanie Hamiltona przyjmuje wartość stacjonarną (tj. minimum, maksimum lub punkt przegięcia), przy czym w obliczaniu działania rozważa się wszystkie możliwe trajektorie łączące zadany punkt początkowy i końcowy w zadanym czasie.

Jeżeli punkty te leżą blisko siebie, to działanie ma minimum (stąd nazwa: zasada najmniejszego działania).

Jednak w ogólności zasada Hamiltona jest zasadą stacjonarnego działania: przy wariowaniu toru rzeczywistego działanie ${\displaystyle S}$ nie zmieni się w pierwszym rzędzie, a to oznacza, że działanie ma wartość stacjonarną, analogicznie jak dla funkcji jednej zmiennej, gdzie zerowanie się pochodnej oznacza przyjęcie przez funkcję wartości stacjonarnej (tj. minimum, maksimum lub w punkcie przegięcia).

Inaczej mówiąc, zasada Hamiltona oznacza, że wariacja działania przyjmuje wartość równą zeru

${\displaystyle \delta S=0.}$

Zasada Hamiltona prowadzi do równań Eulera-Lagrange’a.

Podejście teleologiczne a determinizm

Zasada najmniejszego działania wydaje się być przykładem tak zwanego podejścia teleologicznego: układ porusza się między dwoma punktami tak, by zrealizować pewien cel (tu: sprawiać, by działanie było stacjonarne). Jednak jest to tylko pozorne, bowiem zasada Hamiltona jest równoważna równaniom Eulera-Lagrange’a (choć nie w każdych warunkach), te zaś stanowią układ równań różniczkowych, które implikują deterministyczny (przyczynowy) ruch układu.

Inne zasady wariacyjne

• zasada Jacobiego
• zasada Fermata

Zobacz też

• lagranżjan

Przypisy

1. Hamiltona zasada, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-01-05].

Bibliografia

• Chris G. Gray, Principle of least action, Scholarpedia, 2009.
• W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012.

Kontrola autorytatywna (Zasada wariacyjna):

• LCCN: sh85075565
• J9U: 987007560511405171

Encyklopedie internetowe:

• Britannica: topic/principle-of-least-action
• Catalana: 0032077