Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie

Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie – twierdzenie geometrii euklidesowej.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle A,B,C}$ będą wierzchołkami wyjściowego trójkąta, ${\displaystyle CZ}$ jest dwusieczną kąta zewnętrznego. Wówczas^[1]:

${\displaystyle {\frac {AC}{BC}}={\frac {AZ}{BZ}}.}$

Dowód 1

Wprowadzono oznaczenia:

${\displaystyle X}$ – taki punkt ${\displaystyle X}$ na ${\displaystyle AC,}$ że ${\displaystyle \Delta XCB}$ jest równoramienny: ${\displaystyle XC=CB,}$

${\displaystyle Y}$ – taki punkt ${\displaystyle Y}$ na ${\displaystyle CZ,}$ że ${\displaystyle \angle CYB=\angle CXB=\angle CBX,}$ czyli ${\displaystyle XC=CB=BY.}$

Trójkąt ${\displaystyle \Delta BYZ}$ jest podobny do ${\displaystyle \Delta ACZ}$ stąd:

${\displaystyle {\frac {AZ}{BZ}}={\frac {AC}{BY}},}$

czyli

${\displaystyle {\frac {AZ}{BZ}}={\frac {AC}{BC}},}$   co należało dowieść.

Dowód 2

Postępuje się analogicznie, jak w dowodzie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego poprzez pola trójkątów. Wystarczy zauważyć, że:

${\displaystyle \sin \angle BCZ=\sin \angle ACZ.}$

Zobacz też

• twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie