Loading AI tools
twierdzenie algebry liniowej o macierzach kwadratowych Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Twierdzenie Gerszgorina – twierdzenie pozwalające nałożyć ograniczenia na wartości własne macierzy o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Po raz pierwszy zostało opublikowane w roku 1931 przez matematyka pochodzenia białoruskiego, Siemiona Gerszgorina.
Niech będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze z elementami Dla niech gdzie oznacza moduł z liczby Niech będzie domkniętym kołem o środku w i promieniu Takie koła są nazywane kołami Gerszgorina.
Twierdzenie Gerszgorina: każda wartość własna macierzy leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół
Dowód: Niech będzie wartością własną oraz odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech będzie takie, iż Wtedy gdyż w przeciwnym wypadku co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo-wektorowy):
obustronnie odejmując dostajemy:
I dzielimy obustronnie przez (z wyboru i wiemy, że ), a także obkładamy modułami:
Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku mamy
□
Ponieważ wartości własne macierzy są takie same jak macierzy twierdzenie to można wzmocnić – wszystkie wartości własne macierzy muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy i sumy kół dla macierzy
W szczególnym przypadku dla macierzy diagonalnej mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.