Sumowalność metodą Cesàro

Sumowalność metodą Cesàro lub sumowalność w sensie Cesàro – alternatywny sposób przypisania sumy do nieskończonego szeregu w analizie matematycznej. Jeśli szereg jest zbieżny w zwykłym sensie do sumy ${\displaystyle A,}$ to jest także sumowalny metodą Cesàro i jego suma w sensie Cesàro również wynosi ${\displaystyle A.}$ Znaczenie sumowalności metodą Cesàro polega na tym, że szeregi rozbieżne mogą mieć dobrze zdefiniowaną sumę Cesàro.

Nazwa metody sumowania pochodzi od włoskiego matematyka Ernesto Cesàro (1859–1906).

Definicja

Dla danego nieskończonego ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ definiuje się

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\ldots +a_{k}}$

będący ${\displaystyle k}$-tą sumą częściową ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ lub sumą częściową szeregu

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

O szeregu ${\displaystyle \sum a_{n}}$ mówi się, że ma sumę w sensie Cesàro o wartości ${\displaystyle A,}$ jeżeli średnia wartość jego sum cząstkowych jest zbieżna do ${\displaystyle A{:}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}$

Innymi słowy, suma w sensie Cesàro nieskończonego szeregu jest granicą średniej arytmetycznej (średnia) pierwszych ${\displaystyle n}$ sum częściowych szeregu, przy ${\displaystyle n}$ zmierzającym do nieskończoności.

Przykłady

Połóżmy ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n+1}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1.}$ Kolejne wyrazy ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ to

${\displaystyle 1,-1,1,-1,\dots }$

Stąd ciąg sum częściowych ${\displaystyle (s_{n})}$ to

${\displaystyle 1,0,1,0,\dots }$

Wyraźnie widać, że ten szereg, znany jako szereg Grandiego, nie jest zbieżny. Z drugiej strony jednak widać, że wyrazy ciągu ${\displaystyle \{(s_{1}+\dots +s_{n})/n\}}$ wynoszą

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\dots ,}$

czyli

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}={\frac {1}{2}}.}$

Wobec powyższego suma szeregu ${\displaystyle (a_{n})}$ w sensie Cesàro wynosi 1/2.

Rozpatrując kolejny ciąg ${\displaystyle a_{n}=1{\text{ dla }}n\geqslant 1.}$ Wyrazy ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ to

${\displaystyle 1,1,1,1,\dots ,}$

a ich suma jest rozbieżna do nieskończoności. Wyrazy ciągu ${\displaystyle \{(s_{1}+\ldots +s_{n})/n\}}$ wynoszą

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {3}{2}},\,{\frac {6}{3}},\,{\frac {10}{4}},\dots }$

Są one również rozbieżne do nieskończoności, wobec czego szereg ten nie jest sumowalny w sensie Cesàro. Uogólniając, w szeregach rozbieżnych do (dodatniej lub ujemnej) nieskończoności sumowanie metodą Cesàro prowadzi do ciągów podobnie rozbieżnych, a więc takie szeregi nie są sumowalne w sensie Cesàro. Ciągi monotoniczne tworzą albo szeregi zbieżne albo rozbieżne do nieskończoności, stąd wynika, że jeśli szereg nie jest zbieżny, ale jest sumowalny w sensie Cesàro to jego wyrazy muszą oscylować tj. zawierać wyrazy dodatnie i ujemne. Należy jednak zauważyć, że nie muszą one pojawiać się regularnie lub powtarzać się według oczywistego wzoru.

Sumowanie (C, α)

W 1890 roku Ernesto Cesàro zdefiniował szerszą rodzinę metod sumowania, którą określono mianem ${\displaystyle (\mathrm {C} ,n)}$ dla nieujemnych liczb całkowitych ${\displaystyle n.}$ Metoda ${\displaystyle (\mathrm {C} ,0)}$ jest tradycyjnym sumowaniem, a ${\displaystyle (\mathrm {C} ,1)}$ jest metodą sumowania Cesàro opisaną powyżej.

Metody wyższych rzędów można opisać następująco: mając dany szereg ${\displaystyle \sum a_{n},}$ definiuje się wielkości

${\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};\quad A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}}$

oraz wprowadza ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }}$ będące wartościami ${\displaystyle A_{n}^{\alpha }}$ dla szeregu ${\displaystyle 1+0+0+0+\ldots }$ Wtedy suma ${\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha )}$ szeregu ${\displaystyle \sum a_{n}}$ jest oznaczana przez ${\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha )-\sum a_{n}}$ i wynosi

${\displaystyle (C,\alpha )-\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}},}$

jeśli istnieje^[1].

Przypisy

1. Shawyer & Watson, s. 16–17.

Bibliografia

• Chapter III Summability of Fourier series. W: Antoni Zygmund: Trigonometric series. Vol. I, II. Wyd. 3. Cambridge University Press, 2002 [1935], seria: Cambridge Mathematical Library. ISBN 978-0-521-89053-3. [dostęp 2012-04-24]. (ang.). Brak numerów stron w książce
• Bruce Shawyer, Bruce Watson: Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP, 1994. ISBN 0-19-853585-6. Brak numerów stron w książce
• Cesàro summation methods. Encyclopedia of Mathematics. [dostęp 2012-04-25]. (ang.).