Sumator (układ logiczny)

Sumator – cyfrowy układ kombinacyjny, który wykonuje operacje dodawania dwóch (lub więcej) liczb dwójkowych. Sumatory można podzielić na:

1. szeregowe (ang. serial adder): podczas każdej operacji dodają one dwa bity składników oraz bit przeniesienia;
2. równoległe (ang. parallel adder): wielopozycyjne, dodają do siebie jednocześnie bity ze wszystkich pozycji, a przeniesienie realizowane jest w zależności od sposobu połączenia sumatorów jednobitowych. Każdy sumator charakteryzuje się typem ukończenia:
   1. Sumator pełny (ang. full adder)
   2. Sumator półpełny (ang. half adder).

1-bitowy pełny sumator uzyskany za pomocą dwóch półpełnych sumatorów.

półpełny sumator.

Pełny sumator 1-bitowy.

Każdy pełny sumator pełny składa się z dwóch sumatorów półpełnych.

Sumatory równoległe z kolei obejmują dwie grupy:

1. z przeniesieniami szeregowymi (ang. ripple-carry adder),
2. z przeniesieniami równoległymi (ang. carry look-ahead adder).

Teoria

Tablica prawdy dla sumatora półpełnego i 1-bitowego sumatora pełnego:

Wejścia		Wyjścia
${\displaystyle a_{i}}$	${\displaystyle b_{i}}$	${\displaystyle c_{i}}$	${\displaystyle s_{i}}$
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Wejścia			Wyjścia
${\displaystyle a_{i}}$	${\displaystyle b_{i}}$	${\displaystyle c_{i-1}}$	${\displaystyle c_{i}}$	${\displaystyle s_{i}}$
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

gdzie:

• ${\displaystyle a_{i}}$ – pierwszy składnik sumy,
• ${\displaystyle b_{i}}$ – drugi składnik sumy,
• ${\displaystyle c_{i-1}}$ – przeniesienie z poprzedniej pozycji,
• ${\displaystyle s_{i}}$ – suma,
• ${\displaystyle c_{i}}$ – przeniesienie.

Wyrażenia boolowskie opisujące sumę i przeniesienie:

${\displaystyle s_{i}=c_{i-1}\oplus a_{i}\oplus b_{i},}$

${\displaystyle c_{i}=a_{i}b_{i}+c_{i-1}(a_{i}\oplus b_{i}).}$

Wprowadza się jeszcze oznaczenia:

${\displaystyle g_{i}=a_{i}b_{i}}$ – grupa generacyjna,

${\displaystyle p_{i}=a_{i}\oplus b_{i}}$ – grupa propagacyjna.

Można wówczas zapisać przeniesienie:

${\displaystyle c_{i}=g_{i}+c_{i-1}p_{i}.}$

Sumator z przeniesieniami szeregowymi

Sumator ten zbudowany jest z bloków funkcjonalnych, które realizują funkcje ${\displaystyle s_{i}}$ i ${\displaystyle c_{i}.}$ Bloki są połączone kaskadowo (ang. ripple), tzn. wyjście ${\displaystyle c_{i}}$ jest łączone z wejściem ${\displaystyle c_{i+1}}$ bloku następnego.

Aby na przykład otrzymać bit sumy ${\displaystyle s_{4},}$ uprzednio muszą zostać wyznaczone sygnały przeniesień ${\displaystyle c_{1},}$ ${\displaystyle c_{2}}$ oraz ${\displaystyle c_{3},}$ ponieważ ${\displaystyle c_{3}}$ zależy od ${\displaystyle c_{2},}$ a ten zależy od ${\displaystyle c_{1}.}$ Czas otrzymania ostatecznego wyniku jest więc ograniczony od dołu przez ${\displaystyle n}$ × czas generacji przeniesienia ${\displaystyle c,}$ gdzie ${\displaystyle n}$ to liczba elementarnych bloków, z których zbudowanych jest sumator.

Sumator z przeniesieniami równoległymi

W sumatorze z przeniesieniami równoległymi bity przeniesień są wyznaczane równolegle. Wyrażenia opisujące ${\displaystyle c_{i}}$ są rekursywnie rozwijane, tzn. występujący w nich składnik ${\displaystyle c_{i-1}}$ jest zastępowany stosownym wyrażeniem, np.:

${\displaystyle c_{0}={\textrm {const}},}$

${\displaystyle c_{1}=g_{1}+c_{1-1}p_{1}=g_{1}+c_{0}p_{1},}$

${\displaystyle c_{2}=g_{2}+c_{2-1}p_{2}=g_{2}+c_{1}p_{2}=g_{2}+(g_{1}+c_{0}p_{1})p_{2}.}$

Układ buduje się z dwóch głównych części:

1. bloków wyznaczających sumę ${\displaystyle s_{i}}$ oraz grup generacyjnych ${\displaystyle g_{i}}$ i propagacyjnych ${\displaystyle p_{i}}$ (które są liczone niezależnie);
2. bloku generującego przeniesienia zgodnie z rozwiniętymi wyrażeniami.

W praktyce buduje się 4-bitowe sumatory tego typu, ze względu na znaczne skomplikowanie wyrażeń (a więc i obwodów elektrycznych bloku nr 2).

Sumator z przeniesieniami równoległymi jest ok. 20–40% szybszy niż sumator z przeniesieniami szeregowymi.

Zobacz też

• bramka logiczna
• subtraktor

Encyklopedie internetowe (jednostka arytmetyczno-logiczna):

• Catalana: 0212104