Sterowanie minimalno-kwadratowe

Sterowanie minimalno-kwadratowe – sterowanie, którego celem jest zmiana stanu układu, tak aby minimalizować kryterium ${\displaystyle J}$ oraz, aby układ był stabilny.

Układ

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+Bu}$

${\displaystyle y=Cx}$

Zadanie

Należy znaleźć ${\displaystyle u,}$ takie że:

${\displaystyle J(u,x_{0})=\int _{0}^{+\infty }(y(t)^{T}y(t)+u(t)^{T}Ru(t))dt}$

przyjmuje wartość minimalną. Macierz ${\displaystyle R}$ nazywana jest macierzą wagową i spełnia ona warunek:

${\displaystyle R=R^{T}>0.}$

Rozwiązanie

${\displaystyle u=Kx,}$

gdzie:

${\displaystyle K=-R^{-1}B^{T}P,}$

${\displaystyle A^{T}P+PA+C^{T}C-PBR^{-1}B^{T}P=0.}$

Powyższy układ równań nazywany jest równaniami algebraicznymi Riccatiego.

Warunki

Aby zadanie miało rozwiązanie spełnione muszą być dwa warunki:

1. układ jest sterowalny – co pociąga za sobą stabilizowalność,
2. układ jest obserwowalny – co pociąga za sobą wykrywalność.

Zobacz też

• regulator liniowo-kwadratowy
• równanie różniczkowe Riccatiego