Stała Feigenbauma

Stała Feigenbauma δ opisuje zbieżność bifurkacji ciągu ${\displaystyle x_{n+1}=\mu f(x_{n})}$ i pochodzi od nazwiska jej odkrywcy Mitchella Feigenbauma. Została odkryta w 1978 roku.

Rozpatrzmy ciąg iteracji pewnej funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mnożonej każdorazowo przez stałą ${\displaystyle \mu {:}}$

${\displaystyle x_{n+1}=\mu f(x_{n}).}$

Dla niektórych wartości ${\displaystyle x_{0}}$ przy ustalonym ${\displaystyle \mu }$ ciąg ten posiada granicę. Okazuje się, że dla wielu funkcji ${\displaystyle f}$ liczba takich skończonych granic rośnie skokowo wraz ze wzrostem ${\displaystyle \mu }$ (występują tzw. bifurkacje). Oznaczmy przez ${\displaystyle \mu _{n}}$ rosnący ciąg wartości ${\displaystyle \mu }$ dla których zwiększyła się liczba granic ciągu ${\displaystyle x_{n}.}$

Okazuje się, że istnieje wtedy granica ciągu

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\mu _{n+1}-\mu _{n}}{\mu _{n+2}-\mu _{n+1}}}.}$

Feigenbaum ze zdumieniem odkrył, że granica ta jest identyczna dla szerokiej klasy funkcji i równa ${\displaystyle \delta =4{,}66920160910299067185320383\dots }$ (ciąg A006890 w OEIS)

Zbieżność bifurkacji dla odwzorowania logistycznego ${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

Stała ta jest uniwersalna i pojawia się w wielu różnych sytuacjach w otaczającym nas świecie np.: w przepływach turbulentnych, oscylacjach w rezonatorach kwarcowych, reakcjach chemicznych, czy w zbiorach fraktalnych.

Stała Feigenbauma występuje we wszystkich funkcjach ściśle wklęsłych na pewnym przedziale A z jednym maksimum w tym przedziale, odwzorowujących ten przedział w siebie. Ponieważ wiele zjawisk przyrodniczych jest opisanych takimi funkcjami, stąd popularność stałej w przyrodzie.

Na wykresie obok przedstawiono atraktory dla różnych wartości parametru. Istnieje nigdziegęsty podzbiór parametrów ${\displaystyle \mu ,}$ dla których atraktor odwzorowania staje się chaotyczny. Podzbiór ten poprzecinany jest przedziałami parametru ${\displaystyle \mu }$ (np. ${\displaystyle \mu \in (3{,}8284;3{,}8495)}$), dla których wraz ze wzrostem wartości dochodzi do kolejnych bifurkacji podwojeń okresu, aż do granicy w której znajduje się atraktor chaotyczny. Jest to tzw. przejście do chaosu poprzez kaskadę bifurkacji podwojeń okresu.

Encyklopedie internetowe (liczby rzeczywiste):

• Catalana: 0026298
• DSDE: Feigenbaums_tal