Rachunek różnicowy

Podstawowe typy różnic skończonych

Trzy typy różnic skończonych: backward (w tył), central (centralna), forward (w przód). Różnica centralna wokół x daje najlepsze przybliżenie pochodnej funkcji w punkcie ${\displaystyle x}$.

Podstawowym pojęciem rachunku różnicowego jest pojęcie różnic skończonych. Rozważa się trzy podstawowe typy różnic skończonych: różnica w przód, różnica w tył oraz różnica centralna.

Różnica w przód ${\displaystyle \Delta _{h}[f]}$ dla funkcji ${\displaystyle f}$ używa wartości funkcji w punktach ${\displaystyle x+h}$ i ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x)}$

W zależności od zastosowania odległość ${\displaystyle h}$ może być zmienna lub stała.

Gdy nie jest podane, ${\displaystyle h}$ domyślnie przyjmuje wartość 1, czyli

${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x)}$

Różnica w tył ${\displaystyle \nabla _{h}[f]}$ używa wartości funkcji w punktach ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle x-h}$, zamiast wartości w punktach ${\displaystyle x+h}$ i ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h)}$

Różnica centralna ${\displaystyle \delta _{h}[f]}$ określona wzorem:

${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})}$

${\displaystyle =\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x)}$

Pochodna funkcji jednej zmiennej i wzór różnicowy

Pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ pochodną definiuje się za pomocą granicy ilorazu różnicowego

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

W matematyce dyskretnej odpowiednikiem tego wzoru jest wzór różnicowy:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}$

Różnice skończone dla funkcji wielu zmiennych

Oblicza się także różnice skończone w przypadku funkcji wielu zmiennych; są one dyskretnym odpowiednikiem pochodnych cząstkowych. Np. dla pochodnych pierwszego i drugiego rzędu mamy następujące wzory:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}}\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}}$

Rachunek różnicowy na funkcjach ze zbioru liczb naturalnych

W przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ pochodną definiuje się jako

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

W dziedzinie ciągów liczbowych czy w kombinatoryce operujemy na funkcjach o dziedzinie liczb naturalnych, ${\displaystyle F\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} .}$ W tym przypadku do wartości ${\displaystyle f(x)}$ możemy się zbliżyć najbliżej na odległość równą 1, czyli obliczamy ${\displaystyle f(x+1).}$ Dlatego ${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x).}$

Odpowiednikiem funkcji potęgowej o wykładniku całkowitym jest tu tzw. potęga krocząca ubywająca ${\displaystyle x^{\underline {m}}}$ lub przyrastająca ${\displaystyle x^{\overline {m}}.}$ Działanie operatora ${\displaystyle \Delta }$ na funkcję ${\displaystyle x^{\underline {m}}}$ daje w wyniku:

${\displaystyle \Delta (x^{\underline {m}})=(x+1)^{\underline {m}}-x^{\underline {m}}=mx^{\underline {m-1}}.}$

Jest to wzór analogiczny do pochodnej funkcji potęgowej ${\displaystyle D(x^{m})=mx^{m-1}.}$

Operator ${\displaystyle \Delta ,}$ podobnie jak operator ${\displaystyle D}$ jest przekształceniem liniowym:

${\displaystyle \Delta (f+g)=\Delta (f)+\Delta (g),}$

${\displaystyle \Delta (cf)=c\Delta (f).}$

Istnieje operacja odwrotna do różnicowania – jest to sumowanie, dyskretna analogia całki. Występuje ona również w wersji nieoznaczonej i oznaczonej. W szczególności

${\displaystyle \sum x^{\underline {m}}\delta x={\begin{cases}{\frac {x^{\underline {m+1}}}{m+1}}\quad m\neq -1\\H_{x}\quad m=-1\end{cases}},}$

co przypomina wzór na całkę ${\displaystyle \int x^{m}dx.}$

Przekształcenie Abela jest dyskretnym odpowiednikiem całkowania przez części.

Zobacz też

• matematyka dyskretna

Bibliografia

W języku polskim

• Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982, s. 285–312.
• D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982, s. 19–43.
• J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980, s. 150–157.
• A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, Warszawa: PWN, 1971.

W innych językach

• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14764-4. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Finite-difference calculus (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
• Matematyka dyskretna