Równanie Hamiltona-Jacobiego

Równanie Hamiltona-Jacobiego – postać równań ruchu, którą można utworzyć na podstawie hamiltonianu.

Ma ono postać równania różniczkowego cząstkowego na funkcję działania ${\displaystyle S}$^[1][2]:

${\displaystyle H\left(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},{\frac {\partial S}{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{f}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0,}$

gdzie ${\displaystyle S}$ opisuje transformację

${\displaystyle p_{l}={\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q_{l}}},}$

${\displaystyle Q_{l}={\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial P_{l}}},}$

która daje rozwiązania równań ruchu, w których ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q}$ pełnią rolę stałych całkowania.

Nazwa pochodzi od Williama Rowana Hamiltona i Gustava Jacobiego^[3].

Wyprowadzenie

Jest to metoda całkowania równań kanonicznych Hamiltona

${\displaystyle {\dot {q}}_{l}={\frac {\partial H}{\partial p_{l}}},}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{l}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{l}}},}$

(1)

dla ${\displaystyle l=1,2,\dots ,f.}$

Jeżeli przekształcenie kanoniczne

${\displaystyle q_{l}=q_{l}(Q,P,t),}$

${\displaystyle p_{l}=p_{l}(Q,P,t),}$

(2)

prowadzi do postaci funkcji Hamiltona niezależnej od nowych zmiennych kanonicznych, np.

${\displaystyle {\bar {H}}(Q,P,t)=0,}$

(3)

równania Hamiltona przybierają postać

${\displaystyle {\dot {Q}}_{l}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial P_{l}}}=0,}$

${\displaystyle {\dot {P}}_{l}=-{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial Q_{l}}}=0.}$

(4)

Ich rozwiązaniem jest więc po prostu

${\displaystyle Q_{l}=\operatorname {const} =\alpha _{l},}$

${\displaystyle P_{l}=\operatorname {const} =\beta _{l},}$

(5)

gdzie ${\displaystyle \alpha _{l}}$ i ${\displaystyle \beta _{l}}$ są stałymi całkowania.

Podstawiając te rozwiązania do transformacji (2) otrzymuje się ruch fazowy wyrażony w zmiennych ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q{:}}$

${\displaystyle q_{l}=q_{l}(\alpha ,\beta ,t),}$

${\displaystyle p_{l}=p_{l}(\alpha ,\beta ,t).}$

(6)

${\displaystyle 2f}$ stałych dowolnych można wyznaczyć z warunków początkowych

${\displaystyle q_{l}(Q,P,t_{0})=q_{l0},}$

${\displaystyle p_{l}(Q,P,t_{0})=p_{l0},}$

(7)

problem sprowadza się więc do znalezienia odpowiedniego przekształcenia.

Przyjmując, że przekształcenie to dane jest wzorem

${\displaystyle p_{l}={\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q_{l}}},}$

${\displaystyle Q_{l}={\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial P_{l}}},}$

(8)

gdzie warunkiem, aby było to przekształcenia kanoniczne, jest

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}S}{\partial q_{k}\partial P_{l}}}\right|\neq 0}$

i wykorzystując (5) otrzymujemy

${\displaystyle p_{l}={\frac {\partial S(q,\beta ,t)}{\partial q_{l}}},}$

${\displaystyle \alpha _{l}={\frac {\partial S(q,\beta ,t)}{\partial \beta _{l}}}.}$

(9)

Następnie, wykorzystując fakt, że dla transformacji (8) zmianę hamiltonianu opisuje wzór

${\displaystyle {\bar {H}}(Q,P,t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}},}$

(10)

można rozwinąć (3) do postaci

${\displaystyle H(q,p,t)+{\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial t}}=0.}$

(11)

Wreszcie wstawiając (8) otrzymuje się równanie Hamiltona-Jacobiego^[3]:

${\displaystyle H\left(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},{\frac {\partial S}{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{f}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$

(12)