Operator samosprzężony

Operator samosprzężony (hermitowski) – odwzorowanie liniowe ${\displaystyle A}$ działające na skończenie wymiarowej, zespolonej przestrzeni wektorowej ${\displaystyle V,}$ takie że

${\displaystyle \langle Av|w\rangle =\langle v|Aw\rangle ,}$

gdzie:

${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ – iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni ${\displaystyle V}$

${\displaystyle |Aw\rangle \equiv A|w\rangle }$ – wektor powstały w wyniku działania operatora ${\displaystyle A}$ na wektor ${\displaystyle |w\rangle }$

${\displaystyle \langle Av|\equiv (A|v\rangle )^{\dagger }}$ – sprzężenie hermitowskie wektora ${\displaystyle A|v\rangle }$

Operatory samosprzężone używane są w analizie funkcjonalnej.

W mechanice kwantowej operatory samosprzężone reprezentują wielkości mierzone – nazywa się je obserwablami. Przydatność operatorów hermitowskich wynika stąd, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi i z tej racji mogą określać wyniki pomiarów fizycznych.

Operator samosprzężony skończenie wymiarowy można reprezentować za pomocą macierzy hermitowskiej (samosprzężonej).

Macierz operatora hermitowskiego

Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią skończenie wymiarową i ma bazę ortogonalną, to macierz operatora ${\displaystyle A}$ jest macierzą hermitowską (tj. równą swojemu sprzężeniu hermitowskiemu).

Dowód: Niech ${\displaystyle A}$ oznacza teraz macierz. Obliczanie sprzężenia hermitowskiego wektora ${\displaystyle A|v\rangle }$ oznacza obliczanie tego sprzężenia dla iloczynu macierzy i wektora. Ponieważ sprzężenie hermitowskie iloczynu jest iloczynem sprzężeń wziętych w odwrotnej kolejności

${\displaystyle (A|v\rangle )^{\dagger }=\langle v|A^{\dagger }}$

to wstawiając do definicji operatora hermitowskiego wielkości ${\displaystyle |Aw\rangle =A|w\rangle }$ oraz ${\displaystyle \langle Av|=\langle v|A^{\dagger }}$ otrzyma się

${\displaystyle \langle v|A^{\dagger }|w\rangle =\langle v|A|w\rangle }$

co implikuje

${\displaystyle A^{\dagger }=A}$

czyli macierz operatora musi być samosprzężona (hermitowska)

Z twierdzenia spektralnego dla przestrzeni skończenie wymiarowych wynika, że istnieje w przestrzeni ${\displaystyle V}$ bazę ortonormalną, taka że macierz operatora ${\displaystyle A}$ wyrażonego w tej bazie jest macierzą diagonalną, przy czym jej elementy są liczbami rzeczywistymi.

Rozważa się uogólnienie powyższej idei na operatory działające w przestrzeni Hilberta dowolnego wymiaru.

Operatory samosprzężone w mechanice kwantowej

Operatory samosprzężone występują w sformułowaniu mechaniki kwantowej podanym przez Diraca–von Neumanna: wielkości fizyczne, takie jak energia, położenie, pęd, moment pędu czy spin są wartościami własnymi operatorów, przypisanym tym wielkościom. To, w jakich stanach energii, pędu itp. można znaleźć dany układ kwantowy w wyniku wykonania pomiaru, oblicza się działając odpowiednim operatorem na wektor stanu ${\displaystyle |\psi \rangle }$ układu (wektor ten należy do przestrzeni Hilberta skonstruowanej dla tego układu).

1. Szczególne znaczenie ma operator energii (operator Hamiltona) ${\displaystyle {\hat {H}}.}$ Np. dla pojedynczej cząstki ma on postać

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U}$

Wartości własne tego operatora przedstawiają energie całkowite (tj. sumy energii kinetycznej i potencjalnej), jakie może posiadać cząstka o masie ${\displaystyle m}$ oddziałująca z polem potencjalnym ${\displaystyle U.}$ Przykładem jest np. elektron w atomie wodoru. Rozwiązanie zagadnienia własnego prowadzi do wyznaczenia poziomów energetycznych elektronu w atomie.

2. Macierze Pauliego występują w zapisie operatorów pomiaru spinu cząstek układu kwantowego, np.

${\displaystyle A\equiv \sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&&-i\\i&&0\end{matrix}}\right]}$

– macierze te są samosprzężone.

Operatory przestrzeni nieskończenie wymiarowej

Operatory samosprzężone zdefiniowane na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta mają strukturę podobną do operatorów przestrzeni skończenie wymiarowych. Tzn. operatorem samosprzężonym jest taki i tylko taki operator, że jest on unitarnie równoważny operatorowi mnożenia o wartościach rzeczywistych. Pojęcie to może być z małymi modyfikacjami rozszerzone na przestrzenie nieskończenie wielowymiarowe.

Zobacz też

• operator (fizyka)
• operator sprzężony

Bibliografia

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.
• Wprowadzenie do operatorów linowych https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Wprowadzenie_do_teorii_operatorów_liniowych