Macierz sprzężona

Macierz sprzężona do macierzy ${\displaystyle A}$ – macierz oznaczana ${\displaystyle {\overline {A}},}$ której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy ${\displaystyle A.}$

Definicja formalna

Sprzężeniem macierzy nazywamy odwzorowanie

${\displaystyle {\overline {\;\cdot \;}}:M_{n\times m}(\mathbb {C} )\to M_{n\times m}(\mathbb {C} )}$

takie, że dla danej macierzy ${\displaystyle A}$ zachodzi

${\displaystyle A=(a_{ij})\mapsto {\overline {A}}=({\overline {a_{ij}}}).}$

Przykład

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{bmatrix}}\mapsto {\overline {A}}={\begin{bmatrix}2-3i&1+2i&-1-2i\\0&-2&3-2i\\i&2+i&2-i\end{bmatrix}}}$

Własności

Zachodzą następujące własności:

• ${\displaystyle A,B\in M_{n\times m}(\mathbb {C} )\implies {\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}}$
• ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \implies {\overline {a\cdot A}}={\overline {a}}\cdot {\overline {A}}}$
• ${\displaystyle A\in M_{n\times m}(\mathbb {C} )\land B\in M_{m\times p}(\mathbb {C} )\implies {\overline {A\cdot B}}={\overline {A}}\cdot {\overline {B}}}$
• ${\displaystyle {\overline {A}}^{-1}={\overline {A^{-1}}}}$ dla macierzy odwracalnej ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle A\in M_{n\times m}(\mathbb {R} )\implies {\overline {A}}=A}$
• ${\displaystyle \det {\overline {A}}={\overline {\det A}}}$ dla ${\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {C} )}$

Zobacz też

• macierz hermitowska
• macierz transponowana
• sprzężenie hermitowskie macierzy