Hipoteza abc

Hipoteza abc (hipoteza Oesterle-Massera, hipoteza ABC) – zagadnienie z teorii liczb. Po raz pierwszy problem został przedstawiony przez Josepha Oesterlé i Davida Massera w 1985 roku^[1].

Sformułowanie problemu

Przed sformułowaniem hipotezy wprowadzić należy kilka pojęć.

Niech dane będą względnie pierwsze liczby całkowite dodatnie ${\displaystyle a,b,c}$ spełniające równość ${\displaystyle a+b=c.}$

Zdefiniujemy następujące funkcje:

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}},}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ oznacza część bezkwadratową iloczynu ${\displaystyle abc,}$ czyli iloczyn wszystkich różnych liczb pierwszych będących dzielnikami liczb ${\displaystyle a,b,c}$ (na przykład: ${\displaystyle \operatorname {rad} (12\cdot 9\cdot 13)=2\cdot 3\cdot 13=78,}$ ponieważ w rozkładzie 12, 9 i 13 na czynniki pierwsze występują tylko 2, 3 i 13).

Wiadomym jest, że istnieje nieskończenie wiele takich trójek liczb ${\displaystyle (a,b,c),}$ że ${\displaystyle q(a,b,c)>1.}$ Hipoteza ABC jest natomiast przypuszczeniem, że

Dla każdej liczby ${\displaystyle x>1}$ istnieje co najwyżej skończenie wiele trójek liczb ${\displaystyle (a,b,c)}$ spełniających warunek ${\displaystyle q(a,b,c)>x,}$

czyli, w szczególności, że istnieje skończenie wiele trójek spełniających ${\displaystyle q(a,b,c)>1,01,}$ ${\displaystyle q(a,b,c)>1,001}$ itd.

Dowód

W sierpniu 2012 Shinichi Mochizuki opublikował na swojej stronie internetowej ponad 600-stronicową pracę, zawierającą dowód hipotezy ABC^[2]. Dowód jest w trakcie weryfikacji^[3][4]. W 2018 roku Peter Scholze i Jakob Stix opublikowali raport ukazujący błędy dowodu. Mochizuki nie zgodził się z krytyką^[5], a 3 kwietnia 2020 na konferencji prasowej w Kioto ogłoszono, że praca ta została zaakceptowana do druku w uczelnianym czasopiśmie naukowym Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. Kontrowersje budzi jednak fakt, że Mochizuki był jego redaktorem naczelnym. Prawdziwość dowodu wciąż zostaje niepotwierdzona, a zdania na temat jej autentyczności pozostaje sporna^[6][5].

Poszukiwania

W 2006 roku na wydziale matematyki Uniwersytetu w Leiden, we współpracy z holenderskim instytutem nauki w Kennislink rozpoczęto projekt ABC@home oparty na przetwarzaniu rozproszonym w infrastrukturze BOINC. Celem projektu jest szukanie trójek ${\displaystyle (a,b,c)}$ spełniających nierówność ${\displaystyle \mathrm {rad} (abc)<c.}$

Konsekwencje

W czasie badania hipotezy odkryto wiele ciekawych przypadków w teorii liczb. Oto niektóre z nich:

• rozwiązanie twierdzenia Rotha,
• udowodnienie wielkiego twierdzenia Fermata (Andrew Wiles, 1993),
• udowodnienie hipotezy Mordella (Gerd Faltings, 1983),
• kontrprzykłady dla hipotezy Erdősa-Woodsa (z wyjątkiem liczb skończonych),
• uogólnienie teorii Tijdemana,
• rozwiązanie hipotezy Granville-Langevin,
• rozwiązanie zmodyfikowanej hipotezy Szpiro^[1],
• w 1996 r. A. Dąbrowski wykazał, że z hipotezy ABC można wyprowadzić rozwiązanie równania Brocarda-Ramanujana^[7] – jest to uogólnienie twierdzenia Overholta^[8].

Przypisy

1. JosephJ. Oesterlé JosephJ., Nouvelles approches du « théorème » de Fermat, Société Mathématique de France, 1988, s. 165–186, ISSN 0303-1179, OCLC 17422981.
2. Shinichi Mochizuki: Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. 2012-08.
3. PhilipP. Ball PhilipP., Proof claimed for deep connection between primes, „Nature”, 2012, DOI: 10.1038/nature.2012.11378 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
4. BarryB. Cipra BarryB., ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot, Science Now, 12 września 2012 [zarchiwizowane 2013-05-14].
5. The proof that wasn’t [online], Varsity Online [dostęp 2022-05-06] (ang.).
6. DavideD. Castelvecchi DavideD., Mathematical proof that rocked number theory will be published, „Nature”, 580 (7802), 2020, s. 177–177, DOI: 10.1038/d41586-020-00998-2 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
7. AndrzejA. Dąbrowski AndrzejA., On the Diophantine Equation x!+ A = y², „Nieuw Archief voor Wiskunde”, 14 (3), 1996, s. 321–324 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
8. MariusM. Overholt MariusM., The Diophantine Equation n! + 1 = m², „Bulletin of the London Mathematical Society”, 25 (2), 1993, s. 104–104, DOI: 10.1112/blms/25.2.104 [dostęp 2024-08-05] (ang.).

Bibliografia

• Wiktor Bartol, Witold Sadowski, O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty, Warszawa 2005.

Linki zewnętrzne

• Hipoteza ABC, wiw.pl [zarchiwizowane 2015-07-06].
• Historia Twierdzenia Fermata, math.us.edu.pl [zarchiwizowane 2010-04-13].
• Oficjalna strona projektu ABC@home, abcathome.com [zarchiwizowane 2015-11-30].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., abc Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-07-02].