Grupa Poincarégo

Grupa Poincarégo – grupa izometrii zdefiniowanych w czasoprzestrzeni Minkowskiego. Grupa ta jest 10-wymiarową grupą Liego.

Generatorami grupy Poincarégo są elementy algebry Liego o następujących komutatorach:

${\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0,}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu },}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho },}$

gdzie:

${\displaystyle P_{\mu }}$ – generator infinitezymalnej translacji,

${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ – generator transformacji Lorentza.

Pełna grupa Poincaré jest iloczynem półprostym dwóch podgrup:

• translacji w czasie,
• translacji w przestrzeni,
• transformacji Lorentza (grupy Lorentza).

Translacje tworzą grupę abelową, która jest podgrupą normalną grupy Poincaré.

Grupę Poincaré można wprowadzić poprzez rozszerzenie grupy Lorentza.

Zgodnie z programem z Erlangen geometrię czasoprzestrzeni Minkowskiego można zdefiniować jako geometrię, w której interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji grupy Poincarégo. Konsekwencją symetrii Poincarégo jest istnienie dodatkowych niezmienników: masy i całkowitego momentu pędu – stąd wynika m.in. istnienie spinu.

Grupa Poincarégo jest grupą symetrii każdej relatywistycznej teorii pola. Z tego powodu wszystkie cząstki elementarne są opisane za pomocą reprezentacji tej grupy.

Grupa została nazwana na cześć Henri Poincaré, jednego z twórców matematycznych podstaw teorii względności.

Symetrie Poincaré

Do symetrii grupy Poincaré należą:

• translacje (tworzą abelową grupę Liego),
• obroty (tworzą trójwymiarową nieabelową grupę Liego),
• pchnięcia (boosty) – transformacje wiążące dwa układy, z których jeden porusza się względem drugiego, tzw. właściwe transformacje Lorentza.

Obroty i pchnięcia tworzą razem grupę Lorentza.

Zobacz też

• grupa cechowania
• Hendrik Lorentz
• Hermann Minkowski
• Henri Poincaré