Energia sprężystości

Energia sprężystości (sprężysta) – energia nagromadzona w materiale w wyniku jego odkształceń. Jest funkcją tych odkształceń, choć może być wyrażana w zależności od naprężeń, właściwości materiału, przyłożonych sił. Zależności energii sprężystości od wyżej wspomnianych czynników w wielu metodach analiz wytrzymałościowych pozwalają rozwiązywać skomplikowane układy; są często wykorzystywane w metodach numerycznych.

Proste przypadki

• Energia sprężystości dla materiału liniowo-sprężystego w przypadku ściskania:

${\displaystyle {\frac {dU_{N}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {F_{N}^{2}}{EA}},}$

gdzie:

${\displaystyle F_{N}}$ – siła ściskająca,

${\displaystyle E}$ – moduł Younga,

${\displaystyle A}$ – pole ściskanego przekroju.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ścinania:

${\displaystyle {\frac {dU_{T}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{k}{\frac {F_{T}^{2}}{GA}},}$

gdzie:

${\displaystyle F_{T}}$ – siła ścinająca,

${\displaystyle G}$ – moduł Kirchhoffa,

${\displaystyle A}$ – pole ściskanego przekroju,

${\displaystyle k}$ – współczynnik kształtu.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku zginania:

${\displaystyle {\frac {dU_{N}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {M_{g}^{2}}{EI_{z}}},}$

gdzie:

${\displaystyle M_{g}}$ – moment gnący,

${\displaystyle E}$ – moduł Younga,

${\displaystyle I_{z}}$ – moment bezwładności przekroju.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku skręcania:

${\displaystyle {\frac {dU_{S}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {M_{s}^{2}}{GI_{o}}},}$

gdzie:

${\displaystyle M_{s}}$ – moment skręcający,

${\displaystyle G}$ – moduł Kirchhoffa,

${\displaystyle I_{o}}$ – biegunowy moment bezwładności przekroju.

Wszystkie wzory odnoszą się do jednostki długości pręta ${\displaystyle dx.}$

Energia właściwa

Energia sprężysta ${\displaystyle u}$ nagromadzona w jednostce objętości pręta rozciąganego nazywana jest sprężystą energią właściwą lub gęstością energii^[1]. Wyraża się ona wzorem

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\sigma \epsilon .}$

W przypadku złożonego stanu naprężenia możemy, posługując się zasadą superpozycji (sumowania skutków działających naprężeń) i rozważając układ w lokalnym układzie osi głównych (dzięki czemu stan naprężenia opisany jest tylko naprężeniami głównymi), całkowitą energię właściwą układu można przedstawić w postaci^[2]

(a)${\displaystyle {}\quad u={\tfrac {1}{2}}\sigma _{1}\epsilon _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{2}\epsilon _{2}+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{3}\epsilon _{3},}$

gdzie ${\displaystyle \sigma _{i},\epsilon _{i}}$ są odpowiednio ${\displaystyle i}$-tym naprężeniem i ${\displaystyle i}$-tym odkształceniem głównym.

W tym złożonym stanie naprężeń, dylatacja, czyli względna zmiana objętości ${\displaystyle V_{o}=abc}$ prostopadłościanu o bokach ${\displaystyle a,b,c,}$ wyraża się wzorem

(b)${\displaystyle {}\quad \Theta ={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}=\epsilon _{1}+\epsilon _{2}+\epsilon _{3},}$

gdzie:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=(a+\Delta a)(b+\Delta b)(c+\Delta c)\\[1ex]&=abc\left(1+{\frac {\Delta a}{a}}\right)\left(1+{\frac {\Delta b}{b}}\right)\left(1+{\frac {\Delta c}{c}}\right)\\[1ex]&=V_{o}(1+\epsilon _{1})(1+\epsilon _{2})(1+\epsilon _{3}).\end{aligned}}}$

Z prawa Hooke’a dla trójwymiarowego stanu naprężenia wynikają wzory^[2]

(c1)${\displaystyle {}\quad \varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{1}-\mu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big ]},}$
(c2)${\displaystyle {}\quad \varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{2}-\mu (\sigma _{3}+\sigma _{1}){\big ]},}$
(c3)${\displaystyle {}\quad \varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{3}-\mu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big ]},}$

których podstawienie do (a) prowadzi do wyniku

(d)${\displaystyle {}\quad u={\frac {1}{2E}}{\big [}\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\mu (\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{1}\sigma _{3}+\sigma _{2}\sigma _{3}){\big ]},}$

gdzie ${\displaystyle \mu }$ jest liczbą Poissona.

Podstawienie wzorów (c) do (b) prowadzi do wzoru

(e)${\displaystyle {}\quad \Theta ={\frac {1-2\mu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}),}$

z którego wynika, że zmiana objętości ${\displaystyle \Theta }$ nie zależy od wartości poszczególnych naprężeń głównych tylko od ich sumy.

Jeżeli wprowadzimy oznaczenie^[2]

${\displaystyle \sigma _{sr}={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}),}$

to zamiast (e) otrzymamy

${\displaystyle \Theta ={\frac {1-2\mu }{E}}3\sigma _{sr}={\frac {\sigma _{sr}}{K}},}$

gdzie:

${\displaystyle K={\frac {E}{3(1-2\mu )}}}$

jest modułem odkształcenia objętościowego^[2].

Naprężeniu ${\displaystyle \sigma _{sr}}$ odpowiada odkształcenie

${\displaystyle \epsilon _{sr}={\tfrac {1}{3}}(\epsilon _{1}+\epsilon _{3}+\epsilon _{3})={\tfrac {1}{3}}{\frac {\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}}{3K}}={\frac {\sigma _{sr}}{3K}}.}$

Energia właściwa ${\displaystyle u_{v}}$ odkształcenia objętościowego wyraża się wzorem

${\displaystyle u_{v}=3{\tfrac {1}{2}}\sigma _{sr}\epsilon _{sr}={\frac {\sigma _{sr}^{2}}{2K}}={\frac {(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}{18K}}}$

lub

${\displaystyle u_{v}={\frac {1-2\mu }{6E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}.}$

Całkowita energia właściwa układu ${\displaystyle u}$ jest sumą dwu składników: ${\displaystyle u=u_{v}+u_{f},}$ przy czym ${\displaystyle u_{v}}$ jest energią właściwą odkształcenia objętościowego, a ${\displaystyle u_{f}}$ – energią właściwą odkształcenia postaciowego.

Energię właściwą odkształcenia postaciowego ${\displaystyle u_{f}}$ otrzymamy zatem ze wzoru

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{f}&=u-u_{v}\\[1ex]&={\tfrac {1}{2E}}{\big [}\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\mu (\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}){\big ]}\\[1ex]&\quad -{\tfrac {1-2\mu }{6E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\\[1ex]&={\tfrac {1+\mu }{3E}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{3}-\sigma _{3}\sigma _{1}).\end{aligned}}}$

Dla prostego rozciągania tzn. gdy, ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma ,\;\sigma _{2}=\sigma _{3}=0}$ mamy

${\displaystyle u_{v}={\frac {(1-2\mu )\sigma ^{2}}{6E}},\quad u_{f}={\frac {(1+\mu )\sigma ^{2}}{3E}},\quad u={\frac {\sigma ^{2}}{2E}}.}$

Prostota otrzymanych wzorów wynika z faktu^[2], że stany naprężenia i odkształcenia zostały opisane w lokalnym układzie osi głównych, to znaczy skierowanych zgodnie z kierunkami naprężeń głównych. W dowolnym układzie osi wzory te się komplikują i można je znaleźć w pracach^[1][3].

Twierdzenia o energii sprężystej

• twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac i przemieszczeń)
• twierdzenie J.C. Maxwella (o wzajemności przemieszczeń): szczególna postać twierdzenia Bettiego, gdy są tylko dwie równe siły
• twierdzenie Castigliano
• twierdzenie Menabrei (zasada minimum pracy)

Zobacz też

• zasada minimum energii potencjalnej

Przypisy

1. A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985.
2. N.M. Bielajew, Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwo MON, Warszawa 1954.
3. S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980.