Diagram fazowy (fizyka)

Diagram fazowy, portret fazowy – zbiór punktów w przestrzeni fazowej reprezentujący możliwe ruchy dla zadanego hamiltonianu lub lagranżjanu. W pierwszym wypadku przestrzeń fazowa zawiera ${\displaystyle N}$ wymiarów przestrzennych i ${\displaystyle N}$ wymiarów pędowych, gdzie ${\displaystyle N}$ jest stopniem swobody układu opisywanego hamiltonianem. W przypadku mechaniki Lagrange'a wymiary pędowe są zastąpione przez wymiary prędkościowe.

Portret fazowy oscylatora van der Pola o równaniu dla różnych wartości ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mu (y^{2}-1){\frac {dy}{dt}}+y=0}$.

Wobec tego każdy punkt na diagramie fazowym odpowiada pewnemu położeniu w przestrzeni składowych układu (współrzędne przestrzenne punktu) i odpowiadającym im pędom (prędkościom).

Przykładowy portret fazowy dla układu: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}Y^{2}=\pm X+C}$

Dla układu, w którym położenia i pędy (prędkości) mogą przyjmować wartości ciągłe, diagram fazowy składa się zwykle z krzywych (zwanych krzywymi fazowymi). Niekiedy krzywe tworzą krzywą przełączeń, czyli krzywą względem której rozpatrywane jest badane zagadnienie. Diagram fazowy może jednak zawierać również odseparowane punkty.

Portret fazowy oscylatora tłumionego o rosnącej sile tłumienia, o równaniu ruchu${\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega ^{2}x=0}$(kliknij, by zobaczyć symulację)

Z diagramu fazowego można łatwo odczytać charakter ruchu układu:

• ruch nieograniczony – krzywa fazowa „ucieka” do nieskończoności;
• ruch ograniczony – krzywa fazowa jest ograniczona w pewnym skończonym obszarze, istnieją dwa jego podtypy:
  • ruch okresowy – krzywe fazowe są krzywymi zamkniętymi (np. drgania harmoniczne);
  • ruch nieokresowy – krzywe fazowe są krzywymi otwartymi (np. drgania tłumione, drgania wymuszone).

Podprzestrzeń przestrzeni fazowej zawierająca tylko współrzędne przestrzenne jest nazywana przestrzenią konfiguracyjną, krzywe w tej przestrzeni to trajektorie.

Bibliografia

• Jordan D. W., Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford University Press 2007, ISNB 978-0-19-920824-1 Chapter 1.
• Strogatz S., Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, 2001, ISBN 9780738204536

Linki zewnętrzne

• Linear Phase Portraits, an MIT Mathlet.