Średnia potęgowa

Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną) ${\displaystyle n}$ liczb ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{\geqslant 0}}$ nazywamy liczbę^[1]:

${\displaystyle \mu _{k}:={\sqrt[{k}]{\frac {a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\ldots +a_{n}^{k}}{n}}}.}$

Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową.

Powyższą definicję uzupełniamy dla ${\displaystyle k=-\infty ,}$ ${\displaystyle k=0}$ oraz ${\displaystyle k=+\infty }$ w sposób następujący^[1]:

• ${\displaystyle \mu _{-\infty }:=\min(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}$
• ${\displaystyle \mu _{0}:={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}},}$
• ${\displaystyle \mu _{+\infty }:=\max(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).}$

Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:

${\displaystyle \mu _{3}={\sqrt[{3}]{\frac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}}={\sqrt[{3}]{\frac {225}{5}}}={\sqrt[{3}]{45}}\approx 3{,}56.}$

Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ tak zdefiniowana funkcja ${\displaystyle \mu _{k}}$ zmiennej ${\displaystyle k}$ jest ciągła i niemalejąca na zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \},}$ jeśli zaś dla jakichkolwiek ${\displaystyle i}$ i ${\displaystyle j,}$ zachodzi ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$ jest ona nawet rosnąca (wynika to wprost z nierówności między średnimi potęgowymi).

Średnie potęgowe niektórych rzędów mają własne nazwy^[1]:

Rząd	Nazwa
–1	średnia harmoniczna
0	średnia geometryczna
1	średnia arytmetyczna
2	średnia kwadratowa

Zobacz też

• nierówność między średnimi potęgowymi

Przypisy

1. średnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01].