Loading AI tools
zapis liczby rzeczywistej nieskończonym ciągiem cyfr Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Ułamek dziesiętny nieskończony – zapis liczby rzeczywistej za pomocą szeregu liczbowego w postaci[1]:
gdzie są liczbami naturalnymi, przy czym oraz dla
Symbol „” zastępuje się znakiem „”, gdy jest ujemne, w przeciwnym razie opcjonalnie pomija się go lub zastępuje się znakiem „”.
Zapis liczby dodatniej w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego nazywa się rozwinięciem dziesiętnym liczby i przedstawia się go jako[2]:
Tutaj są cyframi rozwinięcia dziesiętnego, a przecinek (separator) oddziela część całkowitą (cechę) liczby od jej mantysy.
Każdy ułamek dziesiętny nieskończony przedstawia liczbę rzeczywistą i odwrotnie, każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.
Rozwinięcie liczby rzeczywistej w ułamek dziesiętny nieskończony jest jednoznaczne, z wyjątkiem sytuacji opisanych poniżej.
Rozwinięcie dziesiętne nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od 9. Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie dziesiętne normalne[3].
Poniższy algorytm pozwala wyznaczyć liczby dla danej liczby rzeczywistej
Niech oznacza wartość bezwzględną, a część całkowitą liczby
liczba jest częścią całkowitą liczby |x|, liczby następne spełniają i są kolejnymi cyframi rozwinięcia.
Dla liczby mamy:
itd.
Jeżeli w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby od pewnego miejsca występuje wyłącznie cyfra 0 (patrz: uwaga wyżej), to na ogół zera te się opuszcza, otrzymując rozwinięcie dziesiętne skończone, a ułamek taki nazywa się ułamkiem dziesiętnym skończonym.
Jest to możliwe jedynie wtedy, gdy jest liczbą wymierną przy czym gdzie i są liczbami naturalnymi.
Na przykład: 17,29450000... = 17,2945 = 34589/2000 = 34589/(24 · 53).
wynika z rozkładu na czynniki pierwsze podstawy systemu liczbowego
Na przykład ułamek dziesiętny o skończonym rozwinięciu w systemie dwójkowym ma dwójkowe rozwinięcie okresowe: Natomiast dzisiętny ułamek w systemie dwójkowym ma skończone rozwinięcie dwójkowe:
Jeżeli poczynając od pewnego miejsca, ciąg kolejnych cyfr ułamka dziesiętnego nieskończonego jest okresowy, to ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym lub krótko ułamkiem okresowym[4]. Obrazowo – ułamek okresowy to taki ułamek, w którym od pewnego miejsca pewien blok cyfr powtarza się kolejno „w nieskończoność”. Na przykład:
W Polsce zwykło się obejmować okres nawiasem
natomiast w anglojęzycznej literaturze używa się nadkreślenia
Ułamek dziesiętny skończony jest szczególnym przypadkiem ułamka dziesiętnego okresowego, gdyż można go uzupełnić nieskończonym ciągiem zer. Na przykład:
Zachodzi ważne twierdzenie:
Każdy ułamek okresowy (skończony lub nieskończony) przedstawia liczbę wymierną. Na odwrót, każda liczba wymierna ma przedstawienie okresowe – skończone albo nieskończone.
Zatem każdy ułamek, który nie jest okresowy, przedstawia liczbę niewymierną. Na przykład liczba 0,1234567891011121314… (wypisane kolejno cyfry kolejnych liczb naturalnych zapisanych dziesiętnie) jest niewymierna.
Dana jest liczba u = 23,61709709709… Oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły:
Kolejny przykład: u = 0,031313131…
Jeżeli jest liczbą naturalną i to każdą dodatnią liczbę rzeczywistą można analogicznie przedstawić za pomocą szeregu liczbowego[5]:
gdzie są liczbami naturalnymi oraz dla
Liczby nazywają się cyframi rozwinięcia danej liczby w systemie o podstawie Potocznie systemy takie określa się przymiotnikami pochodnymi od nazwy liczby na przykład: system dwójkowy albo binarny (o podstawie 2), ósemkowy albo oktalny (o podstawie 8), szesnastkowy albo heksadecymalny (o podstawie 16), dwudziestkowy (o podstawie 20), sześćdziesiątkowy (o podstawie 60) itp.
Rozwinięcie o podstawie g nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie normalne o danej podstawie.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.