Rozkład F Snedecora, rozkład F[1], rozkład Fishera-Snedecora[2] – rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej, wykorzystywany między innymi w testach statystycznych, na przykład w analizie wariancji.
Szybkie fakty Parametry, Nośnik ...
Rozkład F Snedecora
Gęstość prawdopodobieństwa
![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/F-distribution_pdf.svg/240px-F-distribution_pdf.svg.png) |
Dystrybuanta
![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/F_dist_cdf.svg/240px-F_dist_cdf.svg.png) |
Parametry |
stopni swobody
|
Nośnik |
![{\displaystyle x\in [0;+\infty )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1621223d26437dbce51d311ca5addfe9e2f3ad6)
|
Gęstość prawdopodobieństwa |
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92202ea02118bb75d06208c9e556cb222972bd0)
|
Dystrybuanta |
![{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d79f7786b87e45ac16afd1e5f9548adc33a384a)
|
Wartość oczekiwana (średnia) |
![{\displaystyle {\text{ dla }}d_{2}>2}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfd5b1656f8ed6b2383d2ab5cf644cf761740a4)
|
Moda |
![{\displaystyle {\text{ dla }}d_{1}>2}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98fde4c11cdc09ed670b1bf0c825e50a199ab77)
|
Wariancja |
![{\displaystyle {\text{ dla }}d_{2}>4}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88f521b5d4f475959d9018fae40624c247b94f4)
|
Współczynnik skośności |
![{\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e510fce75ef43bcc6668d0c474c098c24aab7a) for ![{\displaystyle d_{2}>6}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cde6f4f94cb60b4cc472d49a8f614fe723590be)
|
Kurtoza |
![{\displaystyle {\tfrac {12(20d_{2}-8d_{2}^{2}+d_{2}^{3}+44d_{1}-32d_{1}d_{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}+}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74c0e5ee0e1746f325aea76b2900dafa758fb5b)
![{\displaystyle +{\tfrac {5d_{2}^{2}d_{1}-22d_{1}^{2}+5d_{2}d_{1}^{2}-16)}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af769d1fcad74c64d1f653579901838f665c1e0b)
|
Odkrywca |
Ronald Fisher, George W. Snedecor |
Zamknij
Jeżeli niezależne zmienne losowe
i
mają rozkłady chi-kwadrat o odpowiednio
i
stopniach swobody:
i
to zmienna losowa
ma rozkład F o
stopniach swobody, co zapisujemy:
![{\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}\sim F_{d_{1},d_{2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/119d0353108cb57437c2fa01e729dec6c7a83580)
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej
jest dana wzorem[3]:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{d_{1},d_{2}}(x)&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede73317761ffabc5c2a485f405dbec8c3ba0d7)
dla
gdzie
to funkcja beta.
Dystrybuanta dana jest wzorem:
![{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}(x)=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47032437dc19de6d9b49dee28f7679b4647fa769)
gdzie
to regularyzowana niekompletna funkcja beta.
W 1924 roku Ronald Fisher stworzył tablice dla rozkładu, który oznaczył literą
zaś w 1934 roku George Snedecor w hołdzie Fisherowi nadał rozkładowi
nazwę F i stablicował go[1].
AnnaA. Baranowska AnnaA., Elementy statystyki dla studentów uczelni medycznych: nowoczesne ujęcie z opisem obliczeń w programach Excel, R i Statistica, Wydanie drugie poprawione, Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2022, s. 108, ISBN 978-83-67234-02-3 [dostęp 2024-02-19]. AndrzejA. Balicki AndrzejA., WiesławaW. Makać WiesławaW., Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, 1997, s. 99, ISBN 83-7326-056-0. KalimuthuK. Krishnamoorthy KalimuthuK., Handbook of statistical distributions with applications, Second edition, A Chapman & Hall book, Boca Raton London New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016, s. 189, ISBN 978-1-4987-4149-1 [dostęp 2024-02-19].