Pochodna zupełna

Pochodna funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ w punkcie ${\displaystyle a}$ albo różniczka funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ w punkcie ${\displaystyle a}$ to przekształcenie liniowe ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle a.}$

W matematyce i naukach ją wykorzystujących szczególnie ważne są funkcje postaci ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$ ponieważ można zdefiniować ich ekstremum. Pochodne takich funkcji służą do szukania ich ekstremum.

Definicja

Zobacz też: Przekształcenie liniowe.

Niech ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle a\in U}$ jeżeli istnieje przekształcenie liniowe ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ takie, że

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-Lh}{\|h\|}}=0.}$^[1]

Przekształcenie liniowe ${\displaystyle L}$ nazywamy pochodną funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle a}$ albo różniczką funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle a}$ i oznaczamy ${\displaystyle Df(a),\ df(a),\ d_{a}f}$ lub podobnie.

Równoważnie funkcja ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle a}$ jeżeli jej przyrost w tym punkcie można przedstawić w postaci:

${\displaystyle f(a+h)-f(a)=Lh+r(h),}$

gdzie reszta ${\displaystyle r}$ ma własność

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{\|h\|}}=0.}$

Stąd wynika, że różniczka to najlepsze możliwe liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.

Terminologia i notacja

W przypadku funkcji ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ tradycyjnie rozróżnia się pochodną funkcji i różniczkę funkcji. W przypadku funkcji ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ literatura matematyczna z reguły nie rozróżnia tych terminów i stosuje je wymiennie. Przykładowo Michael Spivak w Analizie na rozmaitościach przekształcenie liniowe ${\displaystyle L}$ z powyższej definicji oznacza ${\displaystyle Df(a)}$ i nazywa pochodną (ang. derivative) funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle a}$, podczas gdy Wojciech Wojtyński w Grupach i Algebrach Liego oznacza je ${\displaystyle d_{a}f}$ i nazywa różniczką funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle a}$. Wojciech Wojtyński pochodną funkcji różniczkowalnej ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ nazywa funkcję ${\displaystyle f'}$ z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ w przestrzeń przekształceń liniowych z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ daną wzorem

${\displaystyle f'(x):=d_{x}f.}$

Pochodna zupełna to termin, który pojawia się w literaturze fizycznej oznaczający tam pochodną złożenia ${\displaystyle f\circ g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, postaci

${\displaystyle (f\circ g)(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t),\ldots ,g_{n}(t),t)}$

i podobnych złożeń. Pochodna tego złożenia jest równa

${\displaystyle {\frac {d(f\circ g)}{dt}}(a)=\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(g(a)){\frac {dg_{i}}{dt}}(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(g(a)){\frac {dg_{i}}{dt}}(a)+{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}(g(a)).}$

W notacji fizycznej powyższy wzór jest zapisywany

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$

lub podobnie.

Pochodna jako funkcja

Niech ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$ jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie ${\displaystyle a\in U.}$ Funkcja różniczkowalna ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$ indukuje odwzorowanie ${\displaystyle Df}$ z ${\displaystyle U}$ w przestrzeń przekształceń liniowych z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ dane wzorem

${\displaystyle x\mapsto Df(x),}$

które nazywamy pochodną funkcji ${\displaystyle f}$ albo różniczką funkcji ${\displaystyle f.}$

Własności

• Różniczka jest operatorem liniowym:

${\displaystyle D(\alpha f+\beta g)(a)=\alpha Df(a)+\beta Dg(a).}$

• Zachodzi reguła łańcuchowa:

${\displaystyle D(f\circ g)(a)=Df(g(a))\circ Dg(a),}$

o ile złożenia mają sens.

• Jeżeli ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ jest różniczkowalne w punkcie ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ to

${\displaystyle Df(a)v={\frac {\partial f}{\partial v}}(a),}$

gdzie po prawej stronie stoi pochodna kierunkowa.

Macierz pochodnej

Zobacz też: Macierz przekształcenia liniowego.

Różniczka jest (z definicji) przekształceniem liniowym, a zatem jest sens rozważać jej macierz. Jeżeli ${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m}),}$ gdzie ${\displaystyle f_{i}:=\pi _{i}\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,i=1,\dots ,m}$ to złożenia rzutowań ${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{m}):=x_{i}}$ z funkcją ${\displaystyle f,}$ to macierz różniczki ${\displaystyle Df(a)}$ jest postaci

${\displaystyle [Df(a)]={\begin{bmatrix}\left[Df_{1}(a)\right]\\\vdots \\\left[Df_{m}(a)\right]\end{bmatrix}}.}$

Jeżeli ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle a}$ to macierz jej różniczki w bazie standardowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest postaci

${\displaystyle [Df(a)]=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right].}$

Jeżeli ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ jest różniczkowalne w punkcie ${\displaystyle a}$ to macierz jej różniczki w bazach standardowych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ jest postaci

${\displaystyle [Df(a)]={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$

Reguła łańcuchowa przenosi się na macierz różniczki:

${\displaystyle [D(f\circ g)(a)]=[Df(g(a))]\cdot [Dg(a)].}$

Przykłady

(1) Rozważmy funkcję ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ daną wzorem

${\displaystyle f(x,y):=(x^{2}y^{3},x^{2}y).}$

Jej różniczka ma w bazach standardowych macierz

${\displaystyle [Df(x,y)]={\begin{bmatrix}2xy^{3}&3x^{2}y^{2}\\2xy&x^{2}\end{bmatrix}}}$

i jest dana wzorem

${\displaystyle Df(x,y)(h_{1},h_{2})={\begin{bmatrix}2xy^{3}&3x^{2}y^{2}\\2xy&x^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{bmatrix}}.}$

(2) Jeżeli funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle a}$ to jej różniczka w tym punkcie jest dana wzorem

${\displaystyle Df(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)h_{i}.}$

(3) Przykładowo różniczka funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ danej wzorem

${\displaystyle f(x,y):=x^{2}y^{3}}$

jest dana wzorem

${\displaystyle Df(x,y)(h_{1},h_{2})=2xy^{3}h_{1}+3x^{2}y^{2}h_{2}}$

i w punkcie ${\displaystyle (1,2)}$ na wektorze ${\displaystyle (3,4)}$ wynosi

${\displaystyle Df(1,2)(3,4)=2\cdot 1\cdot 2^{3}\cdot 3+3\cdot 1^{2}\cdot 2^{2}\cdot 4=16\cdot 3+12\cdot 4=48+48=96.}$

(4) Niech ${\displaystyle \pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ i=1,\dots ,n}$ oznaczają rzutowania na ${\displaystyle i}$-tą współrzędną względem bazy standardowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ tzn.

${\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}.}$

Rzutowania są funkcjami różniczkowalnymi i ich różniczki są dane wzorem

${\displaystyle D\pi ^{i}(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=h_{i}}$

dla każdego ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}.}$

(5) Łącząc punkt (2) i (4) widzimy, że różniczkę funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ (jeżeli istnieje) możemy zapisać w postaci

${\displaystyle Df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)D\pi ^{i}}$

(dla prostoty oznaczeń piszemy ${\displaystyle D\pi ^{i}}$ zamiast ${\displaystyle D\pi ^{i}(a)}$).

(6) Oznaczając pochodną funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ w punkcie ${\displaystyle a}$ przez ${\displaystyle df(a),}$ a pochodne ${\displaystyle D\pi ^{i}}$ przez ${\displaystyle dx^{i}}$ możemy nadać wzorowi z poprzedniego punktu klasyczną formę

${\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i}.}$

(7) W przypadku funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ wzór z poprzedniego punktu sprowadza się do wzoru

${\displaystyle df(a)=f'(a)dx.}$

W przypadku funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ pojęcia pochodnej (w elementarnym sensie) i różniczki różnią się. Jest to jednak różnica tylko pozorna, gdyż każdej pochodnej ${\displaystyle f'(a)}$ odpowiada różniczka ${\displaystyle f'(a)dx}$ a każdej różniczce ${\displaystyle f'(a)dx}$ odpowiada pochodna ${\displaystyle f'(a).}$

Uogólnienia

Pochodna funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ma wiele daleko idących uogólnień. Są to m.in. pochodna Frecheta i pochodna Gateaux. W przypadku gdy m=1 (tzn. w przypadku funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$) pochodna ma bardzo głębokie uogólnienie w postaci ${\displaystyle k}$-formy różniczkowej.

Zobacz też

• Różniczka zupełna
• Forma różniczkowa

Bibliografia

• Michael Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. Brak numerów stron w książce

Przypisy

1. Spivak definiuje pochodną wzorem ${\displaystyle \lim {\frac {\lVert f(a+h)-f(a)-Lh\rVert }{\lVert h\rVert }}=0}$ jednakże norma w liczniku jest redundantna, ponieważ w przestrzeniach unormowanych ${\displaystyle g=\lim f(x)\Leftrightarrow \lim \lVert f(x)-g\rVert =0.}$