Granica i kogranica

Granica i kogranica – w teorii kategorii dwie dualne względem siebie konstrukcje będące pewnego rodzaju uogólnieniem pojęć produktu, produktu włóknistego (pull-backu) i ekwalizatora w przypadku granicy oraz pojęć dualnych do wymienionych: koproduktu, koproduktu włóknistego (push-outu) czy koekwalizatora w przypadku kogranicy.

Definicje

Diagram prezentujący warunki zgodności i uniwersalności.

Granice w kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ definiuje się za pomocą pojęcia diagramu w ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ Granicą diagramu ${\displaystyle F\colon {\mathcal {I}}\to {\mathcal {C}}}$ nazywa się dowolny obiekt ${\displaystyle L}$ kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ wraz z morfizmami ${\displaystyle \phi _{i}\colon L\to F(i)}$ dla każdego obiektu ${\displaystyle i}$ kategorii ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ spełniający następujące warunki:

• zgodność,

  dla każdego morfizmu ${\displaystyle f\colon i\to j}$ w ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ zachodzi równość ${\displaystyle F(f)\circ \phi _{i}=\phi _{j};}$

• uniwersalność,

  dla dowolnego innego obiektu ${\displaystyle L'}$ wraz z rodziną morfizmów ${\displaystyle \psi _{i}\colon L'\to F(i)}$ spełniającego powyższy warunek zgodności istnieje jeden i tylko jeden taki morfizm ${\displaystyle u\colon L'\to L,}$ że dla każdego ${\displaystyle i}$ zachodzi ${\displaystyle \psi _{i}=\phi _{i}\circ u.}$

Obiekty ${\displaystyle N}$ wraz z rodziną morfizmów spełniające warunek zgodności nazywa się stożkami nad diagramem ${\displaystyle F.}$ Stożki nad ustalonym diagramem w ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ tworzą kategorię, w której morfizmy ${\displaystyle u\colon M\to N}$ tej kategorii między pewnymi stożkami ${\displaystyle (M,\phi _{i})}$ spełniają ${\displaystyle \psi _{i}=\phi _{i}\circ u.}$ Wynika stąd, że granice diagramów to obiekty końcowe w kategorii stożków, zatem są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Kogranicę w kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ można zdefiniować jako granicę w kategorii przeciwnej ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*},}$ bądź wprost: wprowadzając analogicznie pojęcie kostożka diagramu i definiując kogranicę jako obiekt początkowy w kategorii kostożków.

Bibliografia

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Wyd. 2nd ed. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8. Brak numerów stron w książce