Loading AI tools
liczba liczb pierwszych nie większych od danej Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja π – funkcja używana w teorii liczb[1][2].
Dla danej liczby rzeczywistej wartość jest liczbą liczb pierwszych nie większych od [1][2].
Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych[1].
Niektóre z nierówności dotyczących funkcji to:
Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż jest przybliżeniem wartości funkcji
Ponadto:
gdzie jest logarytmem całkowym.
Bernhard Riemann w swojej pracy[3] zdefiniował funkcję w postaci:
gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tą samą własność co funkcja Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.
Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji składającej się z kilku członów.
Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna dla których spełniona jest zależność:
przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy znosi się wzajemnie.
Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.
Ostatni składnik to stała równa
Korzystając z transformacji Möbiusa, można przedstawić za pomocą funkcji Riemanna:
gdzie jest funkcją Möbiusa. Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu, tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.
Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci wtedy taką funkcję nazywa się funkcją Riemanna:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.