Dziedzina Euklidesa (albo pierścień Euklidesa, pierścień euklidesowy) – najbardziej ogólny typ pierścieni, w którym możliwe jest wyznaczenie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.
Dziedzinę całkowitości
nazywa się dziedziną Euklidesa (albo pierścieniem Euklidesa, pierścieniem euklidesowym), jeżeli istnieje taka funkcja
![{\displaystyle N\colon R\to \mathbb {N} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df03d0012a2cef0dfef2c8a95424647043315090)
(nazywana normą), że
![{\displaystyle N(0)=0,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6ea6b2d5dd57c57de926c0d6ab14dfb458020e)
- dla dowolnych
gdzie
istnieją takie
że
![{\displaystyle a=bq+r}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff37cbe024f8cc6ff961323bde02fb9c5d32066e)
- oraz zachodzi jeden z warunków:
lub ![{\displaystyle N(r)<N(b).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2f9ed5db9be4cb6520147795ee6a686d95ee96)
Czasami dodatkowo przyjmuje się również, że:
dla ![{\displaystyle a,b\in R,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42604cd04c2b3b0024de48113602f33367e855b)
jednak nie jest to konieczne: każda dziedzina całkowitości
która może być wyposażona w funkcję
spełniającą pierwsze dwa warunki, może być również wyposażona w funkcję
spełniającą również trzeci warunek. Istotnie, dla
można zdefiniować
wzorem
![{\displaystyle N(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}M(xa).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315e675206ce68d3d596eb28b4e6cf29b4828e0d)
Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem ideałów głównych.
- Dowód. Każdy pierścień Euklidesa jest z definicji dziedziną całkowitości. Należy wykazać, że jeżeli
jest ideałem w pierścieniu Euklidesa
to
dla pewnego
Jeżeli
Niech
w przypadku, gdy
Bez straty ogólności, można przyjąć, że
jest minimalne, tzn.
dla każdego niezerowego
Twierdzimy, że
Ponieważ
zachodzi inkluzja
należy zatem wykazać inkluzję przeciwną. Niech
Istnieją zatem takie
że
Ponieważ
jest minimalne,
czyli zachodzi równość
tj.
co dowodzi inkluzji ![{\displaystyle I\subseteq bR.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679dacb2268bff9ed9a02cdf5eb0c37abe849eeb)
Istnieją pierścienie ideałów głównych, których nie da się wyposażyć w normę (tj. nie są pierścieniami euklidesowymi). Przykładem takiego pierścienia jest
![{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1+{\sqrt {19}}\mathrm {i} }{2}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5da70bbc487f2cf96db7398a88f838eba98593b)
Największy wspólny dzielnik dwóch niezerowych elementów pierścienia Euklidesa można odnaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa. Jeżeli
jest pierścieniem Euklidesa
to można utworzyć taki ciąg równości
![{\displaystyle {\begin{cases}a=bq_{1}+r_{1}\\b=r_{1}q_{2}+r_{2}\\r_{1}=r_{2}q_{3}+r_{3}\\r_{2}=r_{3}q_{4}+r_{4}\\\dots \end{cases}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b9e11cd9ad780bccfea1cd1b3ac00bdae1ace0)
aby
![{\displaystyle N(b)>N(r_{1})>N(r_{2})>\dots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c73b7a6ac0a6b85ead6b2ad1530eeea3fefe8bb)
Ciąg taki (jako malejący ciąg liczb całkowitych dodatnich) musi być skończony, zatem dla pewnej liczby naturalnej
zachodzi równość
Dla najmniejszego takiego
reszta
jest największym wspólnym dzielnikiem elementów
Zatem jeśli można wyznaczyć
i
to można wyznaczyć największy wspólny dzielnik
i ![{\displaystyle b.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Pierścieniami Euklidesa są:
- Pierścień liczb całkowitych z normą
![{\displaystyle N(x)=|x|,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3847ce0eee4405d1455e6ddaaf6e4b0887c3b2d)
- Pierścień
liczb całkowitych Gaussa wraz z normą
gdzie ![{\displaystyle z=a+b{\text{i}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5669d412b70cbdee383991c1a667b34b22741a33)
- Pierścień
liczb całkowitych Eisensteina z normą
gdzie ![{\displaystyle z=a+b\cdot e^{2\pi {\text{i}}/3},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2223c70783c55509f00b5c7a2331293a5b64a9)
- Pierścień wielomianów
nad dowolnym ciałem
wyposażony z normę
= stopień wielomianu
jest pierścieniem Euklidesa. Dokładniej, własność ta charakteryzuje ciała pośród pierścieni, gdyż dla dowolnego pierścienia
następujące warunki są równoważne:
jest ciałem,
- Pierścień wielomianów
jest pierścieniem Euklidesowym,
- Pierścień wielomianów
jest pierścieniem ideałów głównych.
- Niech
będzie liczbą pierwszą oraz niech
oznacza rodzinę liczb wymiernych postaci
dla których
nie dzieli
Rodzina
jest podpierścieniem ciała liczb wymiernych. Każdy element pierścienia
może być zapisany w postaci
gdzie
nie dzieli ani
ani
Funkcja
dana wzorem
dla
jest normą, tzn.
jest pierścieniem Euklidesa.