From Wikipedia, the free encyclopedia
ਅਮੂਰਤ ਅਲਜਬਰੇ ਅੰਦਰ, ਕਿਸੇ ਚੀਜ਼ (ਤਸਵੀਰ, ਸੰਕੇਤ ਆਦਿ) ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਅਧੀਨ ਗਰੁੱਪ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਬਣਤਰ ਨਾਲ ਚੀਜ਼ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸਬੰਧਤ ਸਪੇਸ ਦੇ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਿਆਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਰਟੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਨੂੰ ਯੁਕਿਲਡਨ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰੇਗਾ, ਪਰ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿਸਥਾਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੋਰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਸੰਦਰਭਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
“ਚੀਜ਼ਾਂ” ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਕਾਰ, ਤਸਵੀਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਮੂਨੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕੋਈ ਵਾਲਪੇਪਰ ਪੈਟਰਨ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਤਸਵੀਰ ਜਾਂ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਅਰਥਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਹੋਰੇ ਸ਼ੁੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਰੰਗਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੀ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਭੌਤਿਕੀ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਭੌਤਿਕੀ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਵੀ ਲੈਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਆਇਸੋਮੀਟਰੀਆਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਇਸ ਅੰਦਰ ਵਸਤੂਆਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਐਕਸ਼ਨ ਥੋਪਦਾ ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਪੂਰਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਜੋਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾ-ਉਲਟਾਓ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ (ਜਿਵੇਂ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਾਂ, ਗਲਾਈਡ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਾਂ, ਅਤੇ ਅਧੂਰੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ) ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਅਧੀਨ ਅਕਾਰ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਦਿਸ਼ਾ-ਉਲਟਾਓ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਬਦਲਾਓ, ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਮਿਸ਼ਰਣ) ਦਾ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਜੋ ਅਕਾਰ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਸਹੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਸਹੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਇਸਦੇ ਪੂਰੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ ਚੀਰਲ ਹੋਵੇ (ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਕੋਈ ਦਿਸ਼ਾ-ਪਲਟਣ ਵਾਲੀਆਂ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਜਿਹਨਾਂ ਅਧੀਨ ਇਹ ਸਥਿਰ ਰਹੇ)।
ਕੋਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਜਿਸਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਸਥਿਰ ਕੀਤਾ ਬਿੰਦੂ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਸੀਮਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸੱਚ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਹੱਦਾਂ ਵਾਲੇ ਅਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਾਸਤੇ ਵੀ ਸੱਚ ਹੋਵੇ, ਉਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉਰਿਜਿਨ ਨੂੰ ਚੁਣ ਕੇ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ O(n) ਦੇ ਇੱਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਗੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਫੇਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ SO(n) ਦਾ ਇੱਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਇਸਨੂੰ ਅਕਾਰ ਦਾ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਪੇਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਵਾਸਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵਿੱਚ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ ਅਧੀਨ ਬਿੰਦੂ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਇੱਕ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੇ ਹਨ:
ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਮਨਚਾਹੀਆਂ ਛੋਟੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਬਦਾਲਾਵਾਂ ਜਾਂ ਮਨਚਾਹੇ ਛੋਟੇ ਐਂਗਲਾਂ ਦੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਗੋਲੇ (ਸਫੀਅਰ) O(3) ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਮਤੌਰ ਅਜਿਹੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯੁਕਿਲਡਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਸਬ-ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧਤਾ ਨਾਲ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧਤਾ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਦੋ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਿਸਮ ਵਾਲੇ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ, ਯੁਕਿਲਡਨ ਗਰੁੱਪ E(n) (Rn ਦਾ ਆਈਸੋਮੀਟਰੀ ਗਰੁੱਪ) ਦੇ ਕੰਜੂਗੇਟ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੋਣ, ਜਿੱਥੇ ਗਰੁੱਪ G ਦੇ ਦੋ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ H1, H2 ਕੰਜੂਗੇਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ g ∈ G ਕਿ H1 = g−1H2g ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ,
ਆਈਸੋਮੀਟਰੀ ਗਰੁੱਪਾਂ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਵਕਤ, ਉਹਨਾਂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਤੱਕ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਾਸਤੇ, ਆਈਸੋਮੀਟਰੀਆਂ ਅਧੀਨ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬੰਦ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਨਿਰੰਤਰ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਵੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਰੇਸ਼ਨਲ ਨੰਬਰ ਦੁਆਰਾ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਸ਼ਾਮਿਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਜਿਵੇਂ 1D ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਨਾਂ। ਇਸ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਅਕਾਰ (ਡਰਾਇੰਗ ਵਿੱਚ) ਵਾਹਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ ਅਤੇ ਮਨਚਾਹੇ ਵਧੀਆ ਵਿਵਰਣ ਤੱਕ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਹੋਏ ਬਗੈਰ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲੇ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਉਹ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਾਸਤੇ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀਆਂ ਅਧੀਨ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬੰਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਹਨ:
ਕੰਜੂਗੇਸੀ ਤੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਾਂ ਅੰਦਰ ਅਨਿਰੰਤਰ ਬਿੰਦੂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ;
C1 ਟਰੀਵੀਅਲ ਗਰੁੱਪ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ ਪਛਾਣ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਹੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਦੋਂ ਹੋਂਦ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਕਾਰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੀ ਕੋਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਾ ਰੱਖਦਾ ਹੋਵੇ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, F ਅੱਖਰ।
C2 ਅੱਖਰ Z ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੈ, C3 ਕਿਸੇ ਟ੍ਰਾਈਸਕੇਲੀਔਨ (ਤਿੰਨ-ਟੰਗੇ ਅਕਾਰ) ਦਾ,
C4 ਕਿਸੇ ਸਵਾਸਤਿਕ (ਸਮ-ਬਾਹੂ ਸਮਕੋਣ ਅਕਾਰ), ਅਤੇ C5, C6, ਆਦਿ ਚਾਰ ਦੀ ਵਜਾਏ ਪੰਜ, ਛੇ, ਆਦਿ ਬਾਹਾਂ ਵਾਲੇ ਅਕਾਰਾਂ ਵਰਗੇ ਸਵਾਸਤਿਕ ਅਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹਨ
D1, 2-ਐਲੀਮੈਂਟ ਗਰੁੱਪ ਹੈ ਜੋ ਪਛਾਣ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਦੋਂ ਹੋਂਦ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਕਾਰ ਸਿਰਫ ਦੋ-ਤਰਫੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇਕਲੌਤਾ ਧੁਰਾ ਰੱਖਦਾ ਹੋਵੇ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, A ਅੱਖਰ।
D2, ਜੋ ਕਲੇਇਨ ਚਾਰ-ਗਰੁੱਪ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਗੈਰ-ਸਮਭੁਜ ਸਮ-ਦੋ-ਭੁਜ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੈ, ਅਤੇ
D3, D4, ਆਦਿ ਨਿਯਮਿਤ ਪੌਲੀਗਨਾਂ (ਬਹੁਭੁਜਾਂ) ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹਨ।
ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿਚਲੇ ਅਸਲੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਸਤੇ ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀਆਂ ਦੋ ਡਿਗਰੀਆਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਡੀਹੀਡ੍ਰਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦਰਪਣਾਂ ਦੀਆਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਡਿਗਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।
ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਉਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ, ਆਈਸੋਮੈਟਰੀਆਂ ਅਧੀਨ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬੰਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
ਗੈਰ-ਹੱਦਬੰਦੀ ਵਾਲੇ ਅਕਾਰਾਂ ਵਾਸਤੇ, ਅਤਿਰਿਕਤ ਆਈਸੋਮੈਟਰੀ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਿੱਚ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨਾਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ; ਬੰਦ ਗਰੁੱਪ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
ਕੰਜੂਗੇਸੀ ਤੱਕ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਬਿੰਦੂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ 7 ਅਸੀਮਤ ਲੜੀਆਂ, ਅਤੇ 7 ਵੱਖਰੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਿਸਟੈਲੋਗ੍ਰਾਫੀ (ਕ੍ਰਿਸਟਲ-ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ) ਵਿੱਚ, ਇਹ ਕਿਸੇ ਕ੍ਰਿਸਟਲ ਲੈੱਟਿਸ ਦੀਆਂ ਅਨਿਰੰਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੋਣ ਤੋਂ ਰੋਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਬਿੰਦੂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਅਸੀਮਤ ਫੈਮਲੀਆਂ ਦੀ ਇਹ ਕ੍ਰਿਸਟੈਲੋਗ੍ਰਾਫਿਕ ਪਾਬੰਧੀ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ 32 ਕ੍ਰਿਸਟੈਲੋਗ੍ਰਾਫਿਕ ਬਿੰਦੂ ਗਰੁੱਪਾਂ (7 ਅਸੀਮਤ ਲੜੀਆਂ ਤੋਂ 27, ਅਤੇ ਬਾਕੀ 7ਆਂ ਤੋਂ 5) ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਬੁੰਦੂ ਵਾਲੇ ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:
ਵਸਤੂਆਂ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਵਾਸਤੇ, ਸਲਿੰਡ੍ਰੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਖੜਵੀਆਂ ਸਤਹਿਾਂ। ਫੇਰ ਵੀ, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਲਈ ਇਸਦਾ ਇਹ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ: ਕਿਸੇ ਧੁਰੇ ਪ੍ਰਤਿ ਸਲਿੰਡ੍ਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਅੰਦਰ,
ਸਿਰਫ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਧੁਰੇ ਪ੍ਰਤਿ ਸਲਿੰਡ੍ਰੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ
ਅਤੇ
ਇਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਣ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਹ φ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਾ ਹੋਣ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ
ਹੋਵੇ।
ਸਫੈਰੀਕਲ (ਗੋਲ) ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਾਸਤੇ ਅਜਿਹਾ ਕੋਈ ਵਖਰੇਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ ਦੀਆਂ ਸਤਹਿਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਫਿਕਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਗੈਰ ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਹੈਲਿਕਸ ਵਰਗੇ ਸਕ੍ਰਿਊ ਐਕਸਿਸ (ਪੇਚਦਾਰ ਧੁਰੇ) ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਯੁਕਿਲਡਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਦੇਖੋ।
ਲੰਬੇ ਚੌੜੇ ਸੰਦਰਭਾਂ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਗਰੁੱਪ ਜਾਂ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਗਰੁੱਪ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਣ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸ ਕਿਸ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਵਰਤ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਕੱਢਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਮੈਪਿੰਗ (ਨਕਾਸ਼ੀ) ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਇਹ ਸਪਸ਼ਟ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਇਵੇਰੀਅੰਟ (ਸਥਿਰ) ਤੋਂ ਸਾਡਾ ਕੀ ਭਾਵ ਹੈ, ਜਿਸ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸਤੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਇਹ ਏਰਲਾਂਜਨ ਪ੍ਰੋਗ੍ਰਾਮ ਉੱਤੇ ਨਜ਼ਰ ਪਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸੀਮਤ ਰੇਖਾਗਣਿਤਾਂ ਦੇ ਕੁੱਝ ਮਾਡਲਾਂ ਦੇ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਗਰੁੱਪ ਆਮ ਸਮਝ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣ। ਉਹ ਅਜਿਹਾ ਬਿੰਦੂ-ਸੈਟਾਂ ਦੀਆਂ ਫੈਮਲੀਆਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਨ ਨਾ ਕਿ ਬਿੰਦੂ-ਸੈੱਟਾਂ (ਜਾਂ ਵਸਤੂਆਂ) ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਕੇ।
ਉੱਪਰ ਵਾਂਗ, ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਇਸ ਅੰਦਰ ਵਸਤੂਆਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਐਕਸ਼ਨ ਥੋਪਦੇ ਹਨ।
ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਕਾਰ ਦੇ ਵਾਸਤੇ, ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ: ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਦੋ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਕਾਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਤਸਵੀਰਾਂ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਹੋਣ (ਇੱਥੇ “ਇੱਕ ਸਮਾਨ” ਦਾ ਅਰਥ “ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਤੱਕ ਹੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ” ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇਸਦਾ ਅਰਥ “ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ” ਹੈ)। ਤਾਂ ਫੇਰ ਪਛਾਣ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਅਕਾਰ ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਅਕਾਰ ਦੇ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਵਰਜ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਬਾਇਜੈਕਸ਼ਨ (ਦੋਭਾਜਨ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਪਹਿਲੀ ਸਮਾਨਤਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦੀ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦਾ ਉਲਟ, ਦੂਜੀ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਸਦਾ ਦਰਜਾ, ਅਕਾਰ ਦੇ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਵਰਜ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ, ਅਕਾਰ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਦਰਜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨਾਂ:
ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਦੀ ਥਿਊਰਮ (ਗਰੁੱਪ ਥਿਊਰੀ) ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਬੂਤ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.