Cairat (algèbra)

Lo cairat d'un nombre es un autre nombre que val lo nombre inicial multiplicat per el meteis. De biais mai general, tot èsser matematic per que existís una multiplicacion possedís un cairat. Atal, existís lo cairat a una matritz o encara a una foncion.

La foncion cairada designa aquela que, a un nombre donnat assòcia lo seu cairat. Aquela foncion es para, es a dire que l'imatge d'una valor o del seu oposat es la mèsma. Lo cairat de 4 o de -4 es egal a 16. Lo cairat d'un nombre real es totjorn un nombre positiu e, coma los nombres entièrs o racionals son tanben de nombres reals, lors cairats son tanben positius.

Tot nombre real estrictament positiu es lo cairat d'exactament dos nombres, l'un estrictament positiu l'autre estrictament negatiu, 0 es unicament lo cairat del meteis. Per aquela rason, es possible de definicion una foncion racina cairada, qu'a un nombre real, assòcia lo nombre positiu que lo cairat es lo nombre inicial. La situacion es un pauc diferenta pels nombres entièrs, un entier positiu es pas necessàriament lo cairat d'un autre nombre entièr. La valor 4 n'es, perque 2 × 2 es egal a 4, mas 2 n'es pas. Un nombre entièr qu'es un cairat es dich cairat perfèit.

Lo tèrme de cairat s'impausèt a una epòca ont la logica de l'algèbra geometrica èra omnipresenta. Un nombre èra totjorn positiu e correspondava a la longor d'un segment. Lo cairat d'aquel nombre èra vist coma la Superfícia d'un cairat de costat la longor iniciala.

Exemples :

• 5² = 25
• 1² = 1
• 10² = 100
• ${\displaystyle {\sqrt {100}}\,}$ = 10

Generalitats sul cairat

Quand se calcula lo cairat d'un nombre, s'o multiplica per el meteis. Atal, las formas 12² e 12 x 12 son equivalentas. Pasmens se preferís la forma 12² a causa de sa claritat e sa concision. Un cairat es totjorn positiu per quin que siá nombre real.

Exemple : 12² = (-12)² = 12 × 12 = -12 × (-12) = 144

Atencion ! -(12²) e (-12)² son dos nombres diferents. Lo primièr val -144 (se multiplica 12 per 12 puèi per -1) e lo segond 144 (lo mens es comprés dins la parentèsi).

Lo cairat d'un nombre es inferior a aquel darrièr quand ${\displaystyle 0\leq n\leq 1}$

La racina cairada

Article detalhat: Racina carrada.

E tal que se pòt levar un nombre al cairat, tanben se pòt far l'opéracion invèrsa: es la racina cairada d'un nombre.

Dins una racina cairada ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$, ont ${\displaystyle a}$ es un nombre real superior o egal a 0, lo simbòl ${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$ es nomenat radical, e lo real ${\displaystyle a}$ es lo radicande. Se pòt alara dire que la racina cairada d'un nombre egala lo nombre positiu qui, levat al cairat, val lo radicande.

Condicion d'existéncia

Una racina cairada pòt existir dins l'ensemble dels nombres reals sonque se lo radicande es positiu. Atal, ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ es possible dins l'ensemble dels nombres reals sonque se ${\displaystyle a\geq 0}$. Al contrari, es plan possible d'escriure ${\displaystyle -{\sqrt {a}}}$, qu'es alara egal a l'oposaté del radicande.

Resòlvre l'equacion x < s u p > 2 < / s u p >= a {\displaystyle x<sup>2</sup>=a} dins l'ensemble dels reals

Primièr cas: ${\displaystyle a<0}$

Quand ${\displaystyle a}$ es estrictament inferior a 0, aquò vol dire que x² es negatiu. Mas ins l'ensemble dels reals, lo cairat d'un nombre es pas jamai negatiu. Doncas: ${\displaystyle S=\emptyset }$

Segon cas: ${\displaystyle a=0}$

Quand ${\displaystyle a}$ val 0, una sola solucion es possible: 0 (perque zèro a pas de signe degun). Doncas: ${\displaystyle S=\left\{0\right\}}$

Tresen cas: ${\displaystyle a>0}$

Ja avèm vist que 12² = (-12)² = 144. E tornant aplicar aquela afirmacion a l'equacion x² = a. Aquí l'equacion a doncas doas solucions: ${\displaystyle S=\left\{-{\sqrt {a}};{\sqrt {a}}\right\}}$

Remarca: resòlvre ${\displaystyle {\sqrt {x}}=a}$

Se ${\displaystyle a}$ es estrictament négatiu, l'equacion a pas ges de solucion. Doncas: ${\displaystyle S=\emptyset }$

Al contrari se ${\displaystyle a\geq 0}$ alara trobar ${\displaystyle x}$ torna a multiplicar ${\displaystyle a}$ per el meteis, es a dire a².

Caractèr

En Unicode, lo caractèr es:

• U+00B2