Axiòma

Un axiòma (del grèc ancian: αξιωμα/axioma, « considederat coma digne, convenable, evident en se » — el meteis derivat de αξιος (axios), « digne ») designa una proposicion indemontrabla utilizada coma fondament d'un rasonament.

Istòria

Antiquitat

Per Euclides e unes filosòfs grècs de l’Antiquitat, un axiòma èra una afirmacion que consideravan coma evidenta e que se'n caliá pas far la pròva. Teofrast definís atal l’axiòma: es una formula que concernís en partida las causas del meteis biais, s’i a analogia de l’una a l’autra, en partida totas las causas indistinctament.

Descripcion

Epistemologica

En epistemologia, un axiòma es una veritat evidenta en se sus que una autra coneissença pòt s'aparar, autrament dich pòt èsser bastida^[1]. Cal presisar que totes los epistemològs admeton pas que los axiòmas, dins aquel sens del tèrme, existisson. Dins de corrents filosofics, coma l'objectivisme, lo mot axiòma a una connotacion particulara. Un enonciat es axiomatic s'es impossible de le nigar sens se contradire. Exemple: « Existís una veritat absoluda » o « Lo lengatge existís » son d'axiòmas.

Matematicas

En matematicas, lo mot axiòma designava una proposicion qu'es evidenta en se dins la tradicion matematica dejs Elements d’Euclides. L’axiòma es utilizat ara, en logica matematica, per designar una veritat primièra, a l'interior d'una teoria. L'ensems dels axiòmass d'una teoria es nomenada axiomatica o teoria axiomatica. Aquela axiomatica deu èsser non contradictòri; es sa sola constrencha. Aquela axiomatica definís la teoria; çò que significa que sus l'axiòma se pòt pas tornar al quita l'interior d'aquela teoria, se dich alara qu'aquela teoria es consistenta. Un axiòma representa donc puslèu un punt de partença dins un sistèma de logica e pòt èsser causit arbitrariament. La pertinéncia d'una teoria depend de la pertinéncia dels seus axiòmas e de son interpretacion. En realitat, es de la non coeréncia de son interpretacion que ven la refutacion de la teoria non contradictòria e, per via de consequéncia, de son axiomatica. L'axiòma es donc a la logica matematica, çò qu'es lo postulat a la fisica teorica. D'axiòmas servisson de basa elementària per tot sistèma de logica formala. Per exemple, se pòt definir una aritmetica simpla, comprenent un ensems de « nombres » e una lei de composicion, +, intèrne a aquel ensems, pausant (s'inspirant un pauc de Peano):

1. un nombre notat 0 existís
2. tot nombre X a un successor notat succ(X)
3. X + 0 = X
4. succ(X) + Y = X + succ(Y)

Fòrça de teorèmas pòdon èsser demontrats a partir d'aqueles axiòmas.

Utilizant aqueles axiòmas, e definissent los mots usuals 1, 2, 3, e tanben de seguida per designar los successors de 0: succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivament, podèm demontrar çò que seguís:

succ(X) = X + 1 (axiòma 4 e 3)

e

1 + 2 = 1 + succ(1)	Desvelopament de l'abreviacion (2 = succ(1))
1 + 2 = succ(1) + 1	Axiòma 4
1 + 2 = 2 + 1	Desvelopament de l'abreviacion (2 = succ(1))
1 + 2 = 2 + succ(0)	Desvelopament de l'abreviacion (1 = succ(0))
1 + 2 = 2 + 1 = succ(2) + 0 = 0 + succ(2)	Axiòma 4
1 + 2 = 3 = 0 + 3	Axiòma 3 e utilizacion de l'abreviacion (succ(2) = 3)
0 + 1 = 1 + 0 = 1	Axiòme 4 e 3 (1+0=1)
X+ succ(X)=succ(X) +X	per tot X Axiòma 4.

Tot resultat que podèm destruire d'axioòmas a pas besonh d'èsser un axiòma. Tota afirmacion que pòt pas èsser deduita dels axiòmas e que la negacion tampauc se pòt deduire d'aqueles meteisses axiòmas, pòt rasonablament èsser aponduda coma axiòma.

Benlèu lo mai ancian e mai celèbre sistèma d'axiòmas es aquel dels 5 postulats d'Euclides. Aqueles se mòstran pro incomplèts, e fòrça mai d'axiòmas son necessaris per caracterizar completament la geometria d'Euclides (Hilbert n'utilizèr 26 dins son axiomatica de la geometria euclidiana).

Lo cinquien postulat (per un punt fòra d'una drecha, passa exactament una parallèla a aquela drecha) foguèt suspectat d'èsser una consequéncia dels 4 primièrs pendent gaireben dos millenaris. Fin finala, lo cinquen postulat se confirmèt èsser independent dels quatre primièrs. En efièt, podèm supausar que cap de parallèla passe per un punt situat fòra d'una drecha, o qu'exista una unica parallèla, o encara que n'existís une infinitat. Cadunas d'aquelas causida dona diferentas formas alternativas de geometria, ont las mesuras dels angles interiors d'un triangle s'apondon per donar una valor inferiora, egala o superiora a la mesura de l'angle formada per una drecha (angle plan). Aquelas geometrias son conegudas coma geometrias elliptica, euclidiana e iperbolica respectivament. La relativitat generala afirma que la massa dona a l'espaci una corbadura, es a dire que l'espaci fisic es pas euclidian.

Lo fach que de formas alternativas de geometria podavan existir preoccupa fòrça los matematicians del sègle XIX e dins de desvelopaments semblables, per exemple en algèbra booleana, fasián mai sovent d'esforces per deduire los resultats dels sistèmas d'aritmetica ordinària. Galois montrèr que totes aqueles esforces èran en granda partida degalhats, e que los desvelopaments parallèls dels sistèmas axiomatics podavan èsser utilizats coma cal, del metais biais que resòlv algebricament fòrça problèmas de geometria classica.

Fin finala, las similituds abstrachas existisson entre los sistèmas algebrics foguèron percebut coma mai importantas que los daralhs: atal nasquèt l'algèbra modèrne.

Al sègle XX, le teorèma d'incompletud de Gödel pròva que cap lista explicita d'axiòmas sufisenta per deduire lo principi de recuréncia suls entièrs poirián pas èsser complèta (cada proposicion pòt èsser demontrada o refutada a l'interior del sistèma) e consistenta (pas cap de proposicion pòt èsser a l'encòp demontrada e refutada).

Referéncia

1. segon Euclides

Vejatz tanben

Bibliografia

Robert Blanché, L’Axiomatique — 1955, éd. P.U.F. coll. Quadrige, 112 p.

Articles connèxes

Ligam extèrne

(en) Metamath axioms page