Tetraeder

Et tetraeder er et polyeder som begrenses av fire triangulære sideflater, hvor tre av hver møtes i hvert hjørne. Tetraederet er det eneste konvekse polytopet (legeme med rette sider hvor alle kantene går innover) som har fire sider.^[1]

Regulært tetraeder
		(animasjon)
Type		Platonsk legeme
Dualt polyeder		Tetraeder
Størrelser
Sider		4 trekanter
Kanter		6
Hjørner		4
Sidefordeling		3.3.3
Schläfli-symbol		{3,3}

Et tetraeder brettet ut over en todimensjonal flate

Tetraeder er den tredimensjonale versjonen av det euklidiske simplexet, som er et mer generelt konsept.

Tetraeder er en type pyramide, som er et polyeder med en flat mangekantet grunnflate og trekantede sider som forbinder grunnflata med et felles punkt. For et tetraeder er grunnflata en trekant (alle sidene kan bli sett på som grunnflate), og derfor er tetraederet også kjent som «trekantet pyramide».

Slik som alle konvekse polyedre kan et tetraederet brettes ut av et papirark. Det har to typer nett.

I spill, og spesielt i rollespill, blir tetraederet brukt som en terning, og går under navnet «firerterning» eller «d4».

Tilfeller

Et regulært tetraeder er en type der alle fire sidene er likesidede trekanter, og er en av de fem platonske legemene. Et likebeint tetraeder, også kalt en disfenoide, er et tetraeder der alle fire sidene er likebeinte trekanter. Et trirektangulært tetraeder har rette vinkler som tre sidevinkler på ett hjørne.

Formler

Hvis a er sidelengden til et regulært tetraeder, er arealet A, volumet V og høyden h gitt ved:

${\displaystyle A={\sqrt {3}}a^{2},}$
${\displaystyle V={\frac {1}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}.}$
${\displaystyle h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a}$

Geometriske relasjoner

Tetraeder er et 3-simplex. Ulikt slik det er med de andre platonske legemer er alle hjørnene i et regulært tetraeder like langt fra hverandre (de er eneste mulige oppstilling av fire punkter i et tredimensjonalt rom som er like langt fra hverandre).

Tetraeder er en trekantet pyramide, og det regulære tetraederet er dualt til seg selv.

Et regulært tetraeder kan bygges inn i en kube på to måter slik at tetraederets hjørner er hjørner på kuben og hver kant er diagonalen på en av kubens sider. De kartesiske koordinatene til hjørnene på en slik innbygning er:

(+1, +1, +1);

(−1, −1, +1);

(−1, +1, −1);

(+1, −1, −1).

Dette gir et tetraeder med kantlengder på ${\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {2}}}$ og sentrert i origo. For det andre tetraederet (som er dual til den første) er tegnene de samme, men i motsatt rekkefølge. Hjørnene til begge tetraedrene utgjør sammen alle kubens hjørner, hvilket viser at et regulært tetraeder er 3-demikuben.

Et stellert oktaeder

Volumet av dette tetraederet er 1/3 av kubens volum. Sammensetninga av begge gir en regulær polyedersammensetning som kalles en sammensetning av to tetraedre eller et stellert oktaeder.

Innsiden av det stellerte oktaederet er et oktaeder. På samme måte er et regulært oktaeder resultatet av et regulært tetraeder som får fire reguære tetraedere langs halve kantlinjene kuttet av (dvs. rektifikasjon av tetraederet).

Innebyggingen over deler kuben inn i fem tetraedre, hvor ett er regulært. 5 er også minste antall tetraedre som trengs for å danne en kube.

Ved å skrive inn tetraedre i en regulær sammensetning av fem kuber gir ytterligere to regulære sammensetninger, som består av fem og ti tetraedre.

Relaterte former

• 
  Avstumpet tetraeder
• 
  Sammensetning av to tetraedre
  el. Stellert oktaeder
• 
  Sammensetning av fem tetraedre
• 
  Sammensetning av ti tetraedre

Avstumpingssekvens

• 
  Tetraeder
• 
  Avstumpet tetraeder
• 
  Oktaeder
• 
  Avstumpet tetraeder
• 
  Tetraeder

Dette er en sekvens som viser et tetraeder som stumpes ned til et oktaeder og tilbake til tetraederet. Dette viser at tetraederet er dualt til seg selv.

Referanser

1. Eric W. Weisstein. «Tetraeder». Wolfram Math World. Besøkt 27. februar 2013.

Se også

• Likesidet trekant
• Polyeder
• Platonsk legeme

Eksterne lenker

• (en) Tetrahedron – kategori av bilder, video eller lyd på Commons
• (en) Eric W. Weisstein, Tetrahedron i MathWorld.
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• Paper Models of Polyhedra Many links
• An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron that also includes a description of a "rotating ring of tetrahedra", also known as a kaleidocycle.
• Tetrahedron Core Network Application of a tetrahedral structure to create resilient partial-mesh data network