Sadelpunkt

Et sadelpunkt, også kalt et terrassepunkt, er innenfor matematikken et punkt på grafen til en funksjon hvor den er stasjonær. Det vil si at de førstederiverte av funksjonen er null.^[1] Navnet kommer fra det tilfellet at funksjonen har to variable slik at grafen er en flate. I sadelpunktet vil denne da øke i en retning og avta i en annen slik at den får en sadellignende form som vist på bildet.

Grafen til funksjonen z = x² − y² har et sadelpunkt i (0,0) (rødt). Det er et minimumspunkt om vi beveger oss gjennom det langs x-aksen og et maksimumspunkt langs y-aksen.

Om det stasjonære punktet er et relativt maksimum, minimum eller sadelpunkt kan undersøkes ved funksjonens andrederiverte i det aktuelle punktet. For en funksjon f (x,y), kan man derivere to ganger med hensyn på x for å finne den dobbeltderiverte f_xx  og likeså med hensyn på y som gir f_yy. Derivasjon en gang med hensyn på x og en gang med hensyn på y gir den dobbeltderiverte f_xy.

Hvis nå «diskriminanten» D = f_xx⋅f_yy - f_xy²  er negativ i et punkt, er det et sadelpunkt når f_xx  og f_yy  har motsatt fortegn. I motsatt fall når diskriminanten er positiv, må begge deriverte f_xx  og f_yy  ha samme fortegn. Dersom da f_xx  er positiv, vil punktet være et lokalt minimum. Hvis ikke, er det et lokalt maksimum.

Referanser

1. M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker

• Paul's Online Math Notes, Relative Minimums and Maximums.